$\hbar \neq c \neq 1$: 谁点的费米子？（三）

路径积分

全同粒子对换前后波函数差一个相因子 \[
\psi(a, b) = e^{i\delta} \psi(b, a)
\] 若相位 $\delta$ 与粒子对换的具体方式无关，则仅有玻色子和费米子两种全同粒子。我们现在考虑更一般的情形，即相因子与粒子对换的方式有关。显然当相因子与粒子的具体对换方式有关时，已经无法单纯的在波函数基础上考察这个问题。我们需要考察一个粒子对换的具体的物理过程。

首先考虑一个全同粒子弹性散射实验（图一）。设初态 $t_i$ 的波函数为 $\psi(a, b)$ 其中 a，b 分别为初态全同粒子的量子数。经过时间演化 —— 即所谓的散射过程——以后，在 $t_f$ 时系统波函数为 $U(t_f, t_i)\psi(a,b)$，其中 $U(t_2, t_1) = e^{-iH(t_2-t_1)}$ 是所谓的时间演化算符。我们将该波函数投影到探测器定义的末态 $\varphi(a', b')$ 上，便得到散射振幅，$\mathcal M = \big( \varphi(a', b'), U(t_f, t_i)\psi(a, b) \big)$。

图一：两个全同粒子的弹性散射实验。图来自费曼物理学讲义，卷三，第四章第一节。为了避免混淆，我们用大写字母A、B重新标记过程a、b。

图一画出了 $\theta$处计数器探测到粒子时有可能发生的两个过程。由于全同粒子的不可分辨性，A、B两个过程都对散射振幅都有贡献，但总振幅并非两个振幅 $\mathcal M_A$，$\mathcal M_B$ 的简单相加，而是有一个相因子，$\mathcal M = \mathcal M_A + e^{i\varpi} \mathcal M_B$。不难猜到，该相因子恰好为全同粒子交换产生的相因子。例如，在电子－电子散射（穆勒散射）中，总振幅等于t－道振幅与u－道振幅之差，$\mathcal M = \mathcal M_t - \mathcal M_u$。当然，电子是费米子，其相因子可以直接利用初、末态波函数的对称性直接得到。为了计算更一般的物理过程的振幅，我们可以采用路径积分的方法。

图二：电子-电子散射过程的树图阶费曼图。

根据路径积分，散射振幅\[
\mathcal M = \big( \varphi_{t'}, U(t', t)\psi_{t} \big) = \int \mathrm d^{2d}z\, \mathrm d^{2d}z'\, \varphi_{t'}(z') \mathcal K(z', z; t', t) \psi_t(z)
\] 这里，$z = (\vec x_1, \vec x_2)$ 是 $2d$ 个描述波函数的两个独立坐标（量子数），$d$ 是时空维度；$\varphi_t(z) = (z, \varphi_t)$ 是波函数 $\varphi$ 在 $t$ 时刻坐标表象下的波函数；$\mathcal K(z', z; t', t)$ 是薛定谔方程的基本解，叫做传播子，在路径积分里，\[
\mathcal K(z', z; t', t) = \int_{z,t}^{z',t'} \mathcal D^{2d}_{z(t)}\: e^{iS[z(t)]}, \quad (t' \ge t).
\] 注意，在两粒子体系，路径积分里每一条“路径”当为两粒子空间的路径，相当于两个单粒子路径。两粒子空间称为构型空间，记为 $X_2$。由于没有相互作用，两体构型空间是充分的。在3+1维时空里（d=3），构型空间 $X_2$ 中的路径有如图三所示的A、B两种拓扑结构，因此传播子可以写成：\[
\mathcal K = \chi(A) \mathcal K(A) + \chi(B) \mathcal K(B)
\] 其中 $ \mathcal K(A)$ 仅对第一种拓扑路径进行路径积分，权重因子 $\chi(A)$ 依赖于具体理论的做用量 $S$，一般来源于所谓的“拓扑项”。这正是非单连通相空间里两体全同粒子散射振幅的一般形式（见 Schulman, Phys. Rev. 176, 1558 (1968)）。这可以视为路径积分在非单连通相空间的推广。

图三：全同粒子散射过程的时空图。

为了理解拓扑项，我们可以看一个简单的例子：A－B效应。根据最小耦合原理，每个电子的作用量可以写作， $S = S_0 - e\int \mathrm dt\, \vec{v} \cdot \vec A$。其中 $S_0$ 是自由粒子作用量，$\vec v = \mathrm d \vec q / \mathrm dt$ 是粒子速度。因此电磁耦合项可以写成曲线积分 $-e\int_\gamma \mathrm d\vec q\cdot \vec A$。在A－B效应中，磁场仅存在于螺线管内。因此对电子局部的运动轨迹没有任何影响 —— 电子的运动轨道与这一项不存在时完全相同的（假定电子无法进入螺线管内部）。但是磁场的存在，将粒子的路径按照拓扑结构分成了若干类，例如图四中的路径$q_1, q_2, q_3$。任意两条路径的相对相位为 $\delta = e \oint \mathrm d\vec q \cdot \vec A = en\Phi$, $n\in \mathbb Z$，其中$\Phi = \int \mathrm d\vec a\cdot\vec B$ 为螺线管的磁通量。

图四：A－B效应示意图。

更一般地，我们可以考虑n体全同粒子体系。首先记n个全同粒子的构型空间为 \[
X_n = \{ (z_1, z_2, \cdots, z_n) \mid z_i \in \mathbb R^d; \forall i\ne j, z_i \ne z_j\}/S_n
\] 注意，构型空间的每一条路径，不再对应一条坐标空间的路径。我们将构型空间的每条路径称为一条“辫子”（图五所示）。令 $x_i, x_f \in X_n$ 为初态与末态在构型空间的位置，于是n粒子的传播子可以写成，\[
\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal D_{\mathcal{B}} \: e^{iS[\mathcal B]}.
\] 再一次地，散射振幅仅仅是传播子与初、末态波函数的卷积 \[
\mathcal M_{fi} = \int \mathrm d^{nd}x_i\,\mathrm d^{nd}x_f \varphi_{t_f}(x_f) \mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) \psi_{t_i}(x_i)
\] 因此我们只需要考虑传播子即可。

图五：一条五粒子的“辫子”。

我们将所有辫子按照其拓扑结构分类然后分别求和。如果两条辫子可以通过连续的变形成为彼此，它们就被分到一个拓扑类里面，这种分类方法叫做同伦，每一种拓扑类叫做同伦类，所有同伦类的集合记为 $\pi(X_n, x_i, x_f)$。因此，散射振幅可以写成，\[
\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \sum_{\alpha\in \pi(X_n, x_i, x_f)} \chi(\alpha) \int_\alpha \mathcal D_\mathcal{B} e^{iS[\mathcal B]} \equiv \sum_{\alpha\in \pi(X_n, x_i, x_f)} \chi(\alpha) \mathcal K(\alpha)
\] 这里 $\chi(\alpha)$ 是同伦类 $\alpha$ 的权重因子。这个结果可以加强为：

(Laidlaw-DeWitt, 1971)
设 $\pi_1(X_n, x)$ 为构型空间 $X_n$ 的一阶同伦群，$x_0\in X_n$ 为其基点，则传播子 \[\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \sum_{\alpha\in \pi_1(X_n, x_0)} \chi(\alpha) \mathcal K(\alpha),
\] 并且， $\chi(\alpha)$ 是群 $\pi_1(X_n, x_0)$ 的一个群表示。

这个定理包含两方面的加强。第一，从 $x_i$ 到 $x_f$ 的同伦类的集合 $\pi(X_n, x_i, x_f)$ 被加强为处于某一固定点 $x_0\in X_n$ 的同伦群 $\pi_1(X_n, x_0)$。同伦群中的元素都是环路。为了看出同伦群与原集合的等价性，我们可以首先任取从 $x_0$ 到 $x_i$ 的路径 $\xi$，以及从$x_f$ 到 $x_0$ 的道路 $\zeta$。对于任意一种同伦类 $\forall \alpha \in \pi(X_n, x_i, x_f)$, 同伦群中总存在一个元素与之对应 $\gamma \circ \alpha \circ \zeta \in \pi_1(X_n, x_0)$，如图六所示。

图六：$x_0$ 处同伦群 $\pi_1$ 与从 $x_i$ 到 $x_f$ 的同伦集合 $\pi(X_n, x_i, x_f)$ 的对应性。

同伦群的群结构，带来第二处加强：权重因子 $\chi$ 需要与同伦群相容，即作为同伦群的表示。为了理解这一点，我们首先注意到 $\forall t_2: t_1 \le t_2 \le t_3$，传播子满足 \[
\mathcal K(x_3, x_1; t_3, t_1) = \int \mathrm dx_2\, \mathcal K(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K(x_2, x_1; t_2, t_1),
\] 代入拓扑分解，得到 \[
\sum_{\gamma\in\pi_{31}} \chi(\gamma) K(\gamma) = \sum_{\alpha\in\pi_{21}} \sum_{\beta\in\pi_{32}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \int \mathrm dx_2 \, \mathcal K_{\beta}(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K_{\alpha}(x_2, x_1; t_2, t_1),
\] 注意作为同伦类 $\alpha$, $\beta$ 并不依赖于 $x_2$。易知，任何一条从 $x_1$ 到 $x_3$ 的路径，都可以分解为一条从 $x_1$ 到 $x_2$ 的路径与一条从 $x_2$ 到 $x_3$ 的路径。因此 \[ \int \mathrm dx_2 \, \mathcal K_{\beta}(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K_{\alpha}(x_2, x_1; t_2, t_1) = \mathcal K_{\beta\circ\alpha}(x_3, x_1; t_3, t_1) \equiv \mathcal K_{\alpha,\beta}(\beta\circ\alpha).
\] 当然这并不是全部 $\beta\circ\alpha$ 类的路径积分，因为不同 $\alpha, \beta$ 的组合可能得到相同的拓扑。故此，\[
\sum_{\gamma\in\pi_{31}} \chi(\gamma) K(\gamma) = \sum_{\alpha\in\pi_{21}} \sum_{\beta\in\pi_{32}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \mathcal K_{\alpha,\beta}(\beta\circ\alpha) = \sum_{\beta\circ\alpha \in\pi_{31}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \sum_{r=1}^\infty \mathcal K^{(r)}(\beta\circ\alpha).
\]因此，$\chi(\beta\circ\alpha) = \chi(\beta)\chi(\alpha)$。这表明$\chi$ 是同伦群 $\pi_1(X_n, x_0)$ 的一个表示。

根据这个结果，全同粒子统计性质与其构型空间拓扑性质密切相关。利用几何方法我们可以知道，在 d+1 维，n粒子构型空间\[
\pi_1(X_n, x_0) = \left\{ \begin{array}{ll}
B_n, \quad & d = 2, \\
S_n, \quad & d \ge 2
\end{array}\right.
\] 其中 $S_n$ 是n阶置换群又叫对称群；$B_n$ 是所谓的辫群，又叫Artin群。

让我们来首先考虑 3+1 维以及以上维度。构型空间的基本群为 $S_n$ 意味着，不同的拓扑类仅仅来源于粒子的置换。例如，双粒子体系的辫子仅有两种拓扑结构，其他貌似复杂的辫子都可以通过连续变形变为这种结构中的一种。这也是为什么电子穆勒散射的过程中只需要考虑两种费曼图。从这个意义上讲，3+1维的粒子全同粒子是简单的。

图七：3+1维双粒子体系的辫子。

置换群 $S_n$ 仅有两个一维表示，分别是（1）平庸表示：$\forall \sigma\in S_n, \chi(\sigma) = 1$；（2）迹表示：$\forall \sigma\in S_n, \chi(\sigma) = \mathrm{sgn}(\sigma) $。这两种表示显然分别对应玻色子和费米子。当然，置换群还存在高维表示，这些表示对应的权重因子已经不再是实数，当然，每一种拓扑结构的振幅也不再是实数。我们可以将路径积分推广以接受这些表示的存在，这些高维表示对应的统计性质叫做“准统计”。然而 Doplicher 1971 等人证明，这些准统计态一定可以分解为费米子与玻色子的直积再加上额外的量子数。因此再 3+1 以及以上维度，费米子与玻色子已经足够。

辫群定义为，\[
B_n=\langle\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}\mid\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1},\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i\rangle,
\] 显然，$n>1$ 时，$B_n$ 是无穷阶的。其中 $B_2 \approx \mathbb Z$是阿贝尔群，而 $B_3$ 是非阿贝尔群。而上面的定义提供了一个几何表示（图八－十）。