谁点的费米子？（三）

路径积分

全同粒子对换前后波函数差一个相因子 \[
\psi(a, b) = e^{i\delta} \psi(b, a)
\] 若相位 $\delta$ 与粒子对换的具体方式无关，则仅有玻色子和费米子两种全同粒子。我们现在考虑更一般的情形，即相因子与粒子对换的方式有关。显然当相因子与粒子的具体对换方式有关时，已经无法单纯的在波函数基础上考察这个问题。我们需要考察一个粒子对换的具体的物理过程。

首先考虑一个全同粒子弹性散射实验（图一）。设初态 $t_i$ 的波函数为 $\psi(a, b)$ 其中 a，b 分别为初态全同粒子的量子数。经过时间演化 —— 即所谓的散射过程——以后，在 $t_f$ 时系统波函数为 $U(t_f, t_i)\psi(a,b)$，其中 $U(t_2, t_1) = e^{-iH(t_2-t_1)}$ 是所谓的时间演化算符。我们将该波函数投影到探测器定义的末态 $\varphi(a', b')$ 上，便得到散射振幅，$\mathcal M = \big( \varphi(a', b'), U(t_f, t_i)\psi(a, b) \big)$。

图一：两个全同粒子的弹性散射实验。图来自费曼物理学讲义，卷三，第四章第一节。为了避免混淆，我们用大写字母A、B重新标记过程a、b。

图一画出了 $\theta$处计数器探测到粒子时有可能发生的两个过程。由于全同粒子的不可分辨性，A、B两个过程都对散射振幅都有贡献，但总振幅并非两个振幅 $\mathcal M_A$，$\mathcal M_B$ 的简单相加，而是有一个相因子，$\mathcal M = \mathcal M_A + e^{i\varpi} \mathcal M_B$。不难猜到，该相因子恰好为全同粒子交换产生的相因子。例如，在电子－电子散射（穆勒散射）中，总振幅等于t－道振幅与u－道振幅之差，$\mathcal M = \mathcal M_t - \mathcal M_u$。当然，电子是费米子，其相因子可以直接利用初、末态波函数的对称性直接得到。为了计算更一般的物理过程的振幅，我们可以采用路径积分的方法。

图二：电子-电子散射过程的树图阶费曼图。

根据路径积分，散射振幅\[
\mathcal M = \big( \varphi_{t'}, U(t', t)\psi_{t} \big) = \int \mathrm d^{2d}z\, \mathrm d^{2d}z'\, \varphi_{t'}(z') \mathcal K(z', z; t', t) \psi_t(z)
\] 这里，$z = (\vec x_1, \vec x_2)$ 是 $2d$ 个描述波函数的两个独立坐标（量子数），$d$ 是时空维度；$\varphi_t(z) = (z, \varphi_t)$ 是波函数 $\varphi$ 在 $t$ 时刻坐标表象下的波函数；$\mathcal K(z', z; t', t)$ 是薛定谔方程的基本解，叫做传播子，在路径积分里，\[
\mathcal K(z', z; t', t) = \int_{z,t}^{z',t'} \mathcal D^{2d}_{z(t)}\: e^{iS[z(t)]}, \quad (t' \ge t).
\] 注意，在两粒子体系，路径积分里每一条“路径”当为两粒子空间的路径，相当于两个单粒子路径。两粒子空间称为构型空间，记为 $X_2$。由于没有相互作用，两体构型空间是充分的。在3+1维时空里（d=3），构型空间 $X_2$ 中的路径有如图三所示的A、B两种拓扑结构，因此传播子可以写成：\[
\mathcal K = \chi(A) \mathcal K(A) + \chi(B) \mathcal K(B)
\] 其中 $ \mathcal K(A)$ 仅对第一种拓扑路径进行路径积分，权重因子 $\chi(A)$ 依赖于具体理论的做用量 $S$，一般来源于所谓的“拓扑项”。这正是非单连通相空间里两体全同粒子散射振幅的一般形式（见 Schulman, Phys. Rev. 176, 1558 (1968)）。 这可以视为路径积分在非单连通相空间的推广。

图三：全同粒子散射过程的时空图。

为了理解拓扑项，我们可以看一个简单的例子：A－B效应。根据最小耦合原理，每个电子的作用量可以写作， $S = S_0 - e\int \mathrm dt\, \vec{v} \cdot \vec A$。其中 $S_0$ 是自由粒子作用量，$\vec v = \mathrm d \vec q / \mathrm dt$ 是粒子速度。因此电磁耦合项可以写成曲线积分 $-e\int_\gamma \mathrm d\vec q\cdot \vec A$。在A－B效应中，磁场仅存在于螺线管内。因此对电子局部的运动轨迹没有任何影响 —— 电子的运动轨道与这一项不存在时完全相同的（假定电子无法进入螺线管内部）。但是磁场的存在，将粒子的路径按照拓扑结构分成了若干类，例如图四中的路径$q_1, q_2, q_3$。任意两条路径的相对相位为 $\delta = e \oint \mathrm d\vec q \cdot \vec A = en\Phi$, $n\in \mathbb Z$，其中$\Phi = \int \mathrm d\vec a\cdot\vec B$ 为螺线管的磁通量。

图四：A－B效应示意图。

更一般地，我们可以考虑n体全同粒子体系。首先记n个全同粒子的构型空间为 \[
X_n = \{ (z_1, z_2, \cdots, z_n) \mid z_i \in \mathbb R^d; \forall i\ne j, z_i \ne z_j\}/S_n
\] 注意，构型空间的每一条路径，不再对应一条坐标空间的路径。我们将构型空间的每条路径称为一条“辫子”（图五所示）。令 $x_i, x_f \in X_n$ 为初态与末态在构型空间的位置，于是n粒子的传播子可以写成，\[
\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal D_{\mathcal{B}} \: e^{iS[\mathcal B]}.
\] 再一次地，散射振幅仅仅是传播子与初、末态波函数的卷积 \[
\mathcal M_{fi} = \int \mathrm d^{nd}x_i\,\mathrm d^{nd}x_f \varphi_{t_f}(x_f) \mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) \psi_{t_i}(x_i)
\] 因此我们只需要考虑传播子即可。

图五：一条五粒子的“辫子”。

我们将所有辫子按照其拓扑结构分类然后分别求和。 如果两条辫子可以通过连续的变形成为彼此，它们就被分到一个拓扑类里面，这种分类方法叫做同伦，每一种拓扑类叫做同伦类，所有同伦类的集合记为 $\pi(X_n, x_i, x_f)$。 因此，散射振幅可以写成，\[
\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \sum_{\alpha\in \pi(X_n, x_i, x_f)} \chi(\alpha) \int_\alpha \mathcal D_\mathcal{B} e^{iS[\mathcal B]} \equiv \sum_{\alpha\in \pi(X_n, x_i, x_f)} \chi(\alpha) \mathcal K(\alpha)
\] 这里 $\chi(\alpha)$ 是同伦类 $\alpha$ 的权重因子。 这个结果可以加强为：

(Laidlaw-DeWitt, 1971)
设 $\pi_1(X_n, x)$ 为构型空间 $X_n$ 的一阶同伦群，$x_0\in X_n$ 为其基点，则传播子 \[\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \sum_{\alpha\in \pi_1(X_n, x_0)} \chi(\alpha) \mathcal K(\alpha),
\]  并且， $\chi(\alpha)$ 是群 $\pi_1(X_n, x_0)$ 的一个群表示。

这个定理包含两方面的加强。第一，从 $x_i$ 到 $x_f$ 的同伦类的集合 $\pi(X_n, x_i, x_f)$ 被加强为处于某一固定点 $x_0\in X_n$ 的同伦群 $\pi_1(X_n, x_0)$。 同伦群中的元素都是环路。为了看出同伦群与原集合的等价性，我们可以首先任取从 $x_0$ 到 $x_i$ 的路径 $\xi$，以及 从$x_f$ 到 $x_0$ 的道路 $\zeta$。 对于任意一种同伦类 $\forall \alpha \in \pi(X_n, x_i, x_f)$, 同伦群中总存在一个元素与之对应 $\gamma \circ \alpha \circ \zeta \in \pi_1(X_n, x_0)$，如图六所示。

图六：$x_0$ 处同伦群 $\pi_1$ 与从 $x_i$ 到 $x_f$ 的同伦集合 $\pi(X_n, x_i, x_f)$ 的对应性。

同伦群的群结构，带来第二处加强： 权重因子 $\chi$ 需要与同伦群相容，即作为同伦群的表示。 为了理解这一点，我们首先注意到 $\forall t_2: t_1 \le t_2 \le t_3$，传播子满足 \[
\mathcal K(x_3, x_1; t_3, t_1) = \int \mathrm dx_2\, \mathcal K(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K(x_2, x_1; t_2, t_1),
\] 代入拓扑分解，得到 \[
\sum_{\gamma\in\pi_{31}} \chi(\gamma) K(\gamma) = \sum_{\alpha\in\pi_{21}} \sum_{\beta\in\pi_{32}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \int \mathrm dx_2 \, \mathcal K_{\beta}(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K_{\alpha}(x_2, x_1; t_2, t_1),
\] 注意作为同伦类 $\alpha$, $\beta$ 并不依赖于 $x_2$。易知，任何一条从 $x_1$ 到 $x_3$ 的路径，都可以分解为一条从 $x_1$ 到 $x_2$ 的路径与一条从 $x_2$ 到 $x_3$ 的路径。因此 \[  \int \mathrm dx_2 \, \mathcal K_{\beta}(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K_{\alpha}(x_2, x_1; t_2, t_1) = \mathcal K_{\beta\circ\alpha}(x_3, x_1; t_3, t_1) \equiv \mathcal K_{\alpha,\beta}(\beta\circ\alpha).
\] 当然这并不是全部 $\beta\circ\alpha$ 类的路径积分，因为不同 $\alpha, \beta$ 的组合可能得到相同的拓扑。 故此，\[
\sum_{\gamma\in\pi_{31}} \chi(\gamma) K(\gamma) = \sum_{\alpha\in\pi_{21}} \sum_{\beta\in\pi_{32}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \mathcal K_{\alpha,\beta}(\beta\circ\alpha) = \sum_{\beta\circ\alpha \in\pi_{31}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \sum_{r=1}^\infty \mathcal K^{(r)}(\beta\circ\alpha).
\]因此，$\chi(\beta\circ\alpha) = \chi(\beta)\chi(\alpha)$。这表明$\chi$ 是同伦群 $\pi_1(X_n, x_0)$ 的一个表示。

根据这个结果，全同粒子统计性质与其构型空间拓扑性质密切相关。利用几何方法我们可以知道，在 d+1 维，n粒子构型空间\[
\pi_1(X_n, x_0) = \left\{ \begin{array}{ll}
B_n, \quad & d = 2, \\
S_n, \quad & d \ge 2
\end{array}\right.
\] 其中 $S_n$ 是n阶置换群又叫对称群；$B_n$ 是所谓的辫群，又叫Artin群。

让我们来首先考虑 3+1 维以及以上维度。 构型空间的基本群为 $S_n$ 意味着， 不同的拓扑类仅仅来源于粒子的置换。例如，双粒子体系的辫子仅有两种拓扑结构，其他貌似复杂的辫子都可以通过连续变形变为这种结构中的一种。这也是为什么电子穆勒散射的过程中只需要考虑两种费曼图。从这个意义上讲，3+1维的粒子全同粒子是简单的。

图七：3+1维双粒子体系的辫子。

置换群 $S_n$ 仅有两个一维表示，分别是（1）平庸表示：$\forall \sigma\in S_n, \chi(\sigma) = 1$；（2）迹表示：$\forall \sigma\in S_n, \chi(\sigma) = \mathrm{sgn}(\sigma) $。 这两种表示显然分别对应玻色子和费米子。 当然， 置换群还存在高维表示，这些表示对应的权重因子已经不再是实数，当然，每一种拓扑结构的振幅也不再是实数。 我们可以将路径积分推广以接受这些表示的存在，这些高维表示对应的统计性质叫做“准统计”。 然而 Doplicher 1971 等人证明，这些准统计态一定可以分解为费米子与玻色子的直积再加上额外的量子数。 因此再 3+1 以及以上维度，费米子与玻色子已经足够。

辫群定义为，\[
B_n=\langle\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}\mid\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1},\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i\rangle,
\] 显然，$n>1$ 时，$B_n$ 是无穷阶的。其中 $B_2 \approx \mathbb Z$是阿贝尔群，而 $B_3$ 是非阿贝尔群。而上面的定义提供了一个几何表示（图八－十）。

图八：辫群生成元的辫子表示。

图九：注意，向不同方向编得到的辫子是不同的。

图十：生成元的乘法。

图十一：杨－巴克斯特方程。

至于辫群的线性表示是很复杂的，人们知道的也不太多。由于辫群复杂性，2+1 维的粒子显然存在非常丰富统计性质， 这些粒子被称为任意子。

在 1+1 维上，粒子是不可以交换的，因此不存在交换意义上的全同粒子。





［待续未完］

谁点的费米子？（二）

二次量子化

考虑n个不同的自由粒子，其哈密顿量 $H$ 为 各个粒子哈密顿量 $H_i, ([H_i, H_j] = 0)$ 的叠加，因此n-体波函数为单粒子波函数的张量积（直积） \[
\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \psi_1(a_1)\psi_2(a_2) \cdots \psi_n(a_n).
\] 数学上，记单粒子波函数的希尔伯特空间为 $V$, 其张量积记为 $V^{\otimes n} = \otimes_i^n V_i$，$T(V) = \oplus_n V^{\otimes n}\; (V^{\otimes 0} \simeq \mathbb C)$ 叫做张量代数。类似地，由n个自由玻色子或费米子构成的体系，其波函数也可以视为单粒子波函数的直积。但由于全同粒子体系需要满足置换关系，n-体的波函数是粒子希尔伯特空间张量积的一个对称（玻色子）或反对称（费米子）子集。显然该对称或反对称子集也构成希尔伯特空间，分别称作单粒子希尔伯特空间的对称积和反对称积，分别记为 $\mathrm{Sym}^n(V)$ 和 $\bigwedge^n(V)$，$\mathrm{Sym}(V) = \oplus_n \mathrm{Sym}^n(V)$ 叫做对称代数，$\bigwedge(V) = \oplus_n \bigwedge^n(V)$ 叫做反对称代数或外代数。在物理上，张量代数叫做福克空间。玻色子福克空间的一个波函数形如，\[
\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \sqrt{\frac{|G_A|}{n!}}\sum_{\sigma\in S_n/G_A} \psi_1(a_{\sigma(1)})\psi_2(a_{\sigma(2)}) \cdots \psi_n(a_{\sigma(n)}).
\] 这里，$A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}$ 为单粒子量子数的集合，$G_A$ 是 $A$ 的稳定子群，$G_A = \{ \sigma \in S_n | (a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, \cdots, a_{\sigma(n)}) = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$，$G_A$ 中的置换仅会带来重复，而不会带来新的态，因此需要扣除。例如所有量子数都相同的情形 $a_1 = a_2 = \cdots a_n$，显然任何置换不改变量子态的序列，因此 $G_A = S_n$。由于波函数已经是对称的了，显然不需要任何置换 —— 这与 $S_n/G_A = I$ 是相符合的。因子 $\sqrt{\frac{|G_A|}{n!}}$ 是为了归一化。费米子福克空间的一个波函数形如，\[
\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)~ \psi_1(a_{\sigma(1)})\psi_2(a_{\sigma(2)}) \cdots \psi_n(a_{\sigma(n)}) \\
 = \begin{vmatrix}
\psi_1(a_1) & \psi_1(a_2) & \cdots &\psi_1(a_n) \\
\psi_2(a_1) & \psi_2(a_2) & \cdots &\psi_2(a_n) \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
\psi_n(a_1) & \psi_n(a_2) & \cdots &\psi_n(a_n)
\end{vmatrix}
\] 称作斯莱特行列式。

用直积直接处理多粒子态，尤其是全同粒子态，显然是不方便的。为了方便期间，我们引入所谓的粒子数记号。假定多体直积态 $\psi$ 中分别含有 $n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots$ 个量子数为 $a_1, a_2, \cdots, a_k, \cdots$ ($a_i \ne a_j$ 若 $i\ne j$) 的单粒子态，则记该态为 $| n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle$（若某一量子态 $a_i$ 不存在，则 $n_i = 0$）。这样可以统一的处理不同粒子数目的全同粒子态。进一步引入能够改变粒子数目的算符，这样的算符叫做二次量子化算符。 在量子力学中，不能改变粒子数的算符叫做一次量子化算符，例如非相对论单粒子量子力学中的算符。二次量子化算符将单粒子的希尔伯特空间扩张到多粒子希尔伯特空间（福克空间）。最简单的二次量子化算符为产生算符 $\alpha^\dagger_i$ 和消灭算符 $\alpha_i$，其分别在多体态上产生和消灭一个粒子 \[
\begin{split}
& \alpha^\dagger_k | n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle = \sqrt{n_k+1}~| n_1, n_2, \cdots, n_k+1, \cdots \rangle, \\
& \alpha_k | n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle = \sqrt{n_k}~| n_1, n_2, \cdots, n_k-1, \cdots \rangle
\end{split}
\] 由于粒子数不能为负数，$\alpha_k~| n_1, n_2, \cdots, n_k＝0, \cdots \rangle = 0$。容易证明，玻色子的产生消灭算符满足对易关系 \[
[\alpha_a, \alpha_b] = 0, [\alpha_a, \alpha^\dagger_b] = \delta_{ab}, \quad ([A, B] = AB-BA)
\] 而费米子的产生消灭算符满足反对易关系 \[
\{\alpha_a, \alpha_b\} = 0, \{\alpha_a, \alpha^\dagger_b\} = \delta_{ab}, \quad (\{A, B\} = AB+BA)
\] 这是非常重要的关系，由此全同粒子的置换性质（又叫统计性质）等价与产生消灭算符的对易或反对易关系。

产生、消灭算符并不约束粒子个数的上限。当然，粒子的个数取决与哈密顿量。 为了描写基本粒子或准粒子的反应，常常需要能够改变粒子数目的哈密顿量，这样以来系统可能的粒子数将会从零个到无穷多个。 这正是前面提到的张量代数与其子代数 —— 对称和反对称代数。

由产生消灭算符还可以构造一类更加重要的二次量子化算符，场算符。 顾名思义，场算符包含有时空分布的信息，因此特别适用于考察时空性质（如时间演化、时空关联、洛伦兹对称性、规范对称性等）。 自由粒子的场算符可以用产生消灭算符表示为 \[
\hat\varphi(\vec x) = \sum_a \psi_a(\vec x) \alpha_a, \quad \hat\varphi^\dagger(\vec x) = \sum_a  \psi^*_a(\vec x) \alpha_a^\dagger  
\] 其中 $\psi_a(\vec x) \equiv \langle \vec x | a\rangle$ 称作波包，平面波 $\psi_\vec{k}(\vec x) = \mathscr N e^{i \vec k \cdot \vec x}$、高斯波包 $\psi_a(\vec x) = \mathscr N e^{-\frac{\vec x^2}{4a^2}}$  是两类常用的波包。 $\hat\varphi^\dagger(\vec x)|0\rangle = | \vec x \rangle$ 在 $\vec x$ 产生一个量子态， 而 $\psi_a(\vec x) = \langle 0 | \hat\varphi(\vec x) \alpha_a^\dagger | 0 \rangle$ 是波包。 双粒子的波包 $\langle \vec x,\vec y| a,b \rangle = \langle 0 | \hat\varphi(\vec x)\hat\varphi(\vec y) \alpha^\dagger_a \alpha^\dagger_b | 0\rangle = \psi_a(\vec x) \psi_b(\vec y) \pm \psi_a(\vec y)\psi_b(\vec x)$ 则满足全同粒子波函数的置换关系。 我们可以转入海森堡表象， 即定义 $\varphi(x) = e^{iHt}\hat\varphi(\vec x) e^{-iHt}$， 现在时间和空间被放在了同等地位，$\varphi(x)$ 叫做量子场。 量子场可以很方便的表示出洛伦兹对称性来，因此可以作为场论中基本的物理对象。







［待续未完］

谁点的费米子？（一）

全同粒子与统计性质

相比与宏观世界的千千万万，微观世界则要简单的多：同种粒子都是不可分辨的。 譬如，世界上所有的电子本质上都是一样的。 我们把同种粒子叫做“全同粒子” —— 实际上，不可分辨粒子的量子数（如坐标位置、动量、能量等）仍然可能是不同的，甚至在內秉自由度比较小的情况下复合粒子（如质子）也呈现出不可分辨性。 因此微观粒子的不可分辨性最好能用一个更具操作性的定义来表述。

首先考虑两个粒子的情况。双粒子的不可分辨性定义为，两个自由粒子在对换位置以后整体量子态与之前相同。 用数学表达式可以写成 \[
\psi(a, b) = \psi(b, a),
\] 这里 $\psi(a, b)$ 代表双粒子波函数（态矢量），其中 $a, b$ 是用来标记单粒子态的量子数。 根据量子力学，一个波函数与它乘上任意复数以后得到的波函数表示同一个量子态。 为了数学上的方便，人们使用归一的波函数，即$|\psi(a,b)|=|\psi(b,a)|=1$。 因此上面的表达式应当写成 \[
\psi(a, b) = e^{i\delta}\psi(b, a), \quad (\delta \in \mathbb R)
\] 这里 $e^{i\delta}$ 是个单位相因子，一般来说它可能依赖于粒子的量子数乃至对换方法等。 满足 $\delta = 0$ 的粒子显然是最简单的一类全同粒子，这类粒子叫做玻色子。 光子、胶子、W、Z都是玻色子，希戈斯粒子也是玻色子，复合粒子中氦-IV也表现为玻色子。 满足 $\delta = \pi$ 或 $e^{i\delta} = -1$ 的粒子是另一类全同粒子， 叫做费米子。 电子是费米子，复合粒子中的质子、中子等都是费米子，氦-III则表现为费米子。 费米子有个独特的性质，叫做“泡利不相容原理”，曰：两个费米子不能占据完全相同的量子数。 这是因为，根据全同粒子的定义若两个费米子的量子数完全相同，则 $\psi(a, a) = -\psi(a, a)$，其结果是粒子整体的波函数只能为零 $\psi(a, a) = 0$。

那么是否还有其他种类的粒子呢，譬如 $\delta = \pi/2$ 或 $e^{i\delta} = i$ ？ 若假定 $\delta$ 与粒子对换的具体方式无关， 便没有其他种类的粒子了。 这是因为，对换两次以后，双粒子体系到原先的量子态， \[
\psi(a, b) = e^{i\delta} \psi(b, a) = e^{i2\delta}\psi(a,b),
\] 因此 $e^{i2\delta} = 1$，令 $C = e^{i\delta}$ 则 $C^2 = 1$，显然 $e^{i\delta} = C = \pm 1$。因此在相位与粒子对换方式无关的情况下，费米子和玻色子已经涵盖了所有的可能。

上面关于双粒子体系的不可分辨性还可以推广到多粒子体系。 这时候我们需要考虑所有的粒子置换。 譬如在仨粒子体系中， 对于粒子 $(a, b, c)$ 一共有五种置换方式，按照结果列举为：$(a, c, b)$, $(b, a, c)$, $(b, c, a)$, $(c, a, b)$, $(c, b, a)$。 对于一个n粒子体系， 不同的置换方式一共有(n!-1)种，再加上不置换（单位元），构成一个“群”即置换群，记为$S_n$。 显然，多粒子体系的不可分辨性需要考虑所有置换群群元作用下的结果。 首先引入一些记号： 将n个粒子的量子数记为 $q=(a_1, a_2, \cdots a_n)$。 对于每一个置换操作 $\sigma \in S_n$， 置换以后的粒子的量子数记为 $\sigma q$。 类比于双粒子体系，我们可将n个自由粒子体系中的粒子不可分辨性定义为，置换前后的波函数仅差一个依赖于置换操作的相位，即：\[
\forall \sigma \in S_n, \quad \psi(q) = e^{i\delta(\sigma)} \psi(\sigma q), \quad (\delta(\sigma) \in \mathbb R)
\] 但某一个置换可以通过多个其他的置换复合得到。 假如置换后的相位与粒子置换的具体方式无关，那么相因子应当满足，\[
\forall \sigma, \rho \in S_n, \quad e^{i\delta(\sigma\rho)} = e^{i\delta(\sigma)+i\delta(\rho)}.
\] 另外，对于单位元 $e$， 相因子应当为一，或 $\delta(e) = 0$。 当相因子满足这些条件时， 称其为置换群的一个一维群表示。 上面已经说过对于两粒子体系仅有两种相因子，即两个一维表示。 这个结论对于一般置换群 $S_n$ 仍然成立： $S_n$ 仅有两个一维表示，要么 $\forall \sigma \in S_n, e^{i\delta(\sigma)} \equiv 1$； 要么 $\forall \sigma \in S_n, e^{i\delta(\sigma)} = \mathrm{sgn}(\sigma)$， 其中 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ 表示置换 $\sigma$ 的“迹”又叫“奇性”：当置换可以表示为奇数个两两对换时其迹为-1，否则为+1。 显然第一种表示对应的是玻色子；第二种表示对应的是费米子。 n粒子中的任意两个费米子都满足“泡利不相容原理”。

全同粒子的置换性质直接影响着其在正则系综中的统计分布。 在经典统计物理中，由大量（$\sim N_A$）近自由粒子组成的温度为 $T$ 的正则系综，在达到热平衡时，粒子按照玻尔兹曼分布 \[
\langle N_i \rangle = g_i e^{-\beta (\varepsilon_i - \mu)},
\] 其中$\langle N_i \rangle$ 是平均粒子数， $\varepsilon_i$ 为在能级 $i$ 的能量， $\beta = \frac{1}{k_BT}$ 为倒易温度， $\mu$ 为化学势，$g_i$ 为能级 $i$ 的简并度。玻尔兹曼分布仅适用于经典可分辨粒子。当粒子之间的波函数开始有较大重叠时（德布洛意波波长达到粒子间距），全同粒子的交换性开始起作用，需要使用所谓的“全同分布”。 近自由的费米子满足“费米-狄拉克”分布 \[
\langle N_i \rangle = \frac{g_i}{e^{\beta (\varepsilon_i - \mu)} + 1};
\] 而玻色子则满足“玻色-爱因斯坦”分布  \[
\langle N_i \rangle = \frac{g_i}{e^{\beta (\varepsilon_i - \mu)} - 1}.
\] 由于这个原因，全同粒子的置换性质一般被称为粒子的统计性质。

自旋-统计定理

路径积分

贰加壹维，(2+1)d

超对称