众所周知，电子带一个单位的“电子电荷”（记作e）。 因此如果将一个电子放在电磁场中，电子会感受到洛伦兹力 $\vec f = -e \vec E - e \vec v \times \vec B$。 假如电磁场有梯度，电子还可能会感受到一个梯度磁力 $\vec f' = -(\vec \mu \cdot \nabla) \vec B$。这个力的来源是电子自旋$\vec s$引起的电子磁矩 $\vec\mu = -g \frac{e}{2m_e} \vec s$，这里 $g \approx 2 + {\alpha}/{\pi} + ...$。
e U = \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') \varphi(\vec r')。
\]求静电力只要对上述静电能求导即可 $\vec f = -e\nabla U$。假定$\vec r$是体系的“电荷中心”，且体系是有界的，那么上面的表达式可以展开作：\[
\begin{split}
e U =& \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') e^{(\vec r'-\vec r)\cdot\nabla} \varphi(\vec r) = \int \mathrm{d}^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) e^{\vec \xi\cdot\nabla} \varphi(\vec r) \\
=& \int \mathrm{d}^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) (1 + \vec \xi \cdot \nabla + \frac{1}{2} \xi^i\xi^j\nabla^i\nabla^j + \cdots) \varphi(\vec r) \\
=& q \varphi(\vec r) + \vec p \cdot \nabla \varphi(\vec r) + \mathbf{Q}\cdot \nabla \nabla \varphi(\vec r) + \cdots
\end{split}
\] 这里，我们将电荷密度重新作了定义 $\varrho(\vec \xi) \triangleq \rho(\vec r + \vec \xi)$，将坐标中心移到了电荷中心。第二行是个泰勒展开，这里的积分仅与体系的电荷分布有关，因此可以作为衡量体系电磁形状的物理参量：即电荷 $q$、电极矩 $\vec p$、电四极矩 $\mathbf{Q}$ 等等，这些量叫做电多极矩。类似地，我们可以定义磁多极矩。
多极矩不但与体系所受的电磁力有关，还与体系产生的电磁场（电磁辐射）有关。 例如，带电体系产生的库论场为，\[
\varphi(\vec r) = \int \mathrm d^3 r' \, \frac{\varrho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|} = \int \mathrm d^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) e^{\vec \xi\cdot\nabla} \frac{1}{r}.
\]电磁多极矩是一系列所谓的“模型无关”非微扰物理量。它们可以通过实验测量得到，也可以通过唯象模型的计算得到。有了它们，我们可以很容易地勾勒出体系的电磁性质来。它们的另外一个重要特点是，一般体系的高阶电磁极矩收敛很快。
\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \Big( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \Big) + \frac{1}{r^2}\vec \ell^2
\] 这里，\[
\vec \ell^2 = {1 \over \sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial \over \partial \theta}\right)
+ {1 \over \sin^2\theta}{\partial^2 \over \partial \phi^2}.
\] 因此，可以利用其本征函数——球谐函数展开其解。例如，\[
\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}=
\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell}
\frac{4\pi}{2\ell+1}
\frac{r_<^\ell}{r_>^{\ell+1}}
Y_{\ell m}(\theta, \phi) Y^*_{\ell m}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})
\]此处，$r_> = \max\{|\vec r|, |\vec r'|\}$, $r_> = \min\{|\vec r|, |\vec r'|\}$。这样以来，体系产生的静电场（远场 $ r \gg R$）可以表示为，\[
\varphi(\vec r) = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{1}{r^{\ell+1}} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\sum_{m=-\ell}^\ell q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta,\phi) \\
q_{\ell m} \triangleq \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') r'^\ell Y^*_{\ell m}(\theta', \phi') \] 这里，$q_{\ell m}$一般被称为球多极矩。
球多极矩与笛卡尔多极矩密切相关，不过他们之间的具体转换表达式这里不再赘述。
\rho(\vec r) = \sum_i q_i \int \mathrm{d}^3 r'_1 \cdots \mathrm{d}^3 r'_n \, \delta^3(\vec r_i -\vec r) \, \big| \psi(\vec r_1, \vec r_2, \cdots \vec r_i, \cdots \vec r_n) \big|^2.
\] 当然，由于平移不变性，$n$个点粒子组成的带电体系仅需要$n-1$个变量来描述其波函数。最简单的微观束缚态是由两个粒子组成的体系，如介子。 其电荷密度简单地记为 \[ \rho(\vec r) = \psi^*(\vec r)\psi(\vec r). \]前面的电磁多极矩的公式完全适用这里的量子体系。当然这里的讨论对基本粒子也适用，只不过点粒子的电荷密度是简单的： 例如电子电荷密度为$\rho(\vec r) = -e \delta^3(\vec r)$。
\vec j^2 \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) = j(j+1) \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) \\
j_z \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) = m_j \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n).
\]这里 $\vec j = \sum_i \vec\ell_i+\vec s_i$是多体角动量算符，即包含前面定义过的角动量，也包含组分粒子的自旋角动量。 现在先不考虑自旋，并且仅考虑两体体系（例如氢原子、电子偶素、粲夸克偶素等）。此时，$\vec j^2 = \vec \ell^2$，即是前面定义过的轨道角动量算符。则其本征函数即使所谓的球谐函数 \[
\vec \ell^2 Y_{\ell m}(\hat r) = \ell(\ell+1) Y_{\ell m}(\hat r) \\
\ell_z Y_{\ell m}(\hat r) =m Y_{\ell m}(\hat r).
\] 换句话说，波函数可以写成，\[
\psi(\vec r) = R_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\hat r).
\]径向部分的波函数$R(r)$由两个组分粒子之间具体的相互作用决定，可以通过薛定谔方程解出来。现在考虑其球多极矩，即积分：\[
\begin{split}
q_{LM} =& \int \mathrm d^3 r' \, \rho(\vec r') r'^{L} Y_{LM}^*(\hat r') \\
=& \int \mathrm dr' \, r'^{L+2}\big| R_{\ell m}(r') \big|^2 \int \sin\theta' \mathrm d\theta' \mathrm d\phi' Y_{\ell m}^* (\theta', \phi') Y_{\ell m}(\theta', \phi') Y_{LM}^*(\theta', \phi'). \\
\end{split}
\] 其中角方向的积分可以用CG系数或维格纳3-j符号表示出来。其中$L,M$需要满足约束条件：\[
M = 0, \quad 0\le L \le 2\ell, \quad {L = 0 \mod 2}
\] 前两个约束实际上是维格纳-因卡特定理的推论。这样一来，我们仅有$\ell+1$个电多极矩。再加上$\ell$个磁多极矩（不存在磁单极矩），我们现在得到了一个非常重要的结论：
对应原理
相对论性量子理论 与 经典理论
经典电磁极矩
形状因子
模型无关非微扰物理
量子的胜利
 |
| 斯特恩－格拉赫实验利用了银原子在磁场梯度中偏折的特性。银原子的磁矩来自于它的壳层电子。银原子整体为中性，因此屏蔽了洛伦兹力的影响。 |
多极矩
对于一个比较复杂的体系，根据经典电磁学，其受到的电磁力与它的电荷、磁荷（电流）分布有关。 例如，在纯粹的静电场 $\varphi(\vec r)$ 中，一个体系的静电能（不考虑自能）为，\[e U = \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') \varphi(\vec r')。
\]求静电力只要对上述静电能求导即可 $\vec f = -e\nabla U$。假定$\vec r$是体系的“电荷中心”，且体系是有界的，那么上面的表达式可以展开作：\[
\begin{split}
e U =& \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') e^{(\vec r'-\vec r)\cdot\nabla} \varphi(\vec r) = \int \mathrm{d}^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) e^{\vec \xi\cdot\nabla} \varphi(\vec r) \\
=& \int \mathrm{d}^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) (1 + \vec \xi \cdot \nabla + \frac{1}{2} \xi^i\xi^j\nabla^i\nabla^j + \cdots) \varphi(\vec r) \\
=& q \varphi(\vec r) + \vec p \cdot \nabla \varphi(\vec r) + \mathbf{Q}\cdot \nabla \nabla \varphi(\vec r) + \cdots
\end{split}
\] 这里，我们将电荷密度重新作了定义 $\varrho(\vec \xi) \triangleq \rho(\vec r + \vec \xi)$，将坐标中心移到了电荷中心。第二行是个泰勒展开，这里的积分仅与体系的电荷分布有关，因此可以作为衡量体系电磁形状的物理参量：即电荷 $q$、电极矩 $\vec p$、电四极矩 $\mathbf{Q}$ 等等，这些量叫做电多极矩。类似地，我们可以定义磁多极矩。
多极矩不但与体系所受的电磁力有关，还与体系产生的电磁场（电磁辐射）有关。 例如，带电体系产生的库论场为，\[
\varphi(\vec r) = \int \mathrm d^3 r' \, \frac{\varrho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|} = \int \mathrm d^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) e^{\vec \xi\cdot\nabla} \frac{1}{r}.
\]电磁多极矩是一系列所谓的“模型无关”非微扰物理量。它们可以通过实验测量得到，也可以通过唯象模型的计算得到。有了它们，我们可以很容易地勾勒出体系的电磁性质来。它们的另外一个重要特点是，一般体系的高阶电磁极矩收敛很快。
球多极矩
当然，电磁极矩做泰勒展开时很快就会变得非常复杂难以处理。这主要是我们没有充分利用体系的对称性。泊松方程和赫姆霍兹方程包含角动量平方算符：\[\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \Big( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \Big) + \frac{1}{r^2}\vec \ell^2
\] 这里，\[
\vec \ell^2 = {1 \over \sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial \over \partial \theta}\right)
+ {1 \over \sin^2\theta}{\partial^2 \over \partial \phi^2}.
\] 因此，可以利用其本征函数——球谐函数展开其解。例如，\[
\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}=
\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell}
\frac{4\pi}{2\ell+1}
\frac{r_<^\ell}{r_>^{\ell+1}}
Y_{\ell m}(\theta, \phi) Y^*_{\ell m}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})
\]此处，$r_> = \max\{|\vec r|, |\vec r'|\}$, $r_> = \min\{|\vec r|, |\vec r'|\}$。这样以来，体系产生的静电场（远场 $ r \gg R$）可以表示为，\[
\varphi(\vec r) = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{1}{r^{\ell+1}} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\sum_{m=-\ell}^\ell q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta,\phi) \\
q_{\ell m} \triangleq \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') r'^\ell Y^*_{\ell m}(\theta', \phi') \] 这里，$q_{\ell m}$一般被称为球多极矩。
球多极矩与笛卡尔多极矩密切相关，不过他们之间的具体转换表达式这里不再赘述。
微观粒子
微观粒子，从标准模型的基本粒子到强子（介子、重子）、原子核、原子到分子，是自然界中天然的带电粒子体系。 例如质子是由三个夸克构成的——两个上夸克、一个下夸克。 上夸克带2/3个单位的电子电荷，下夸克带-1/3个单位的电子电荷，凑起来恰好为一个单位电荷。 再如派介子由两个夸克构成，也带一个单位的电子电荷。 不过由于量子的波动性，这些电荷弥散在整个空间， 其电荷密度由波函数给出：\[\rho(\vec r) = \sum_i q_i \int \mathrm{d}^3 r'_1 \cdots \mathrm{d}^3 r'_n \, \delta^3(\vec r_i -\vec r) \, \big| \psi(\vec r_1, \vec r_2, \cdots \vec r_i, \cdots \vec r_n) \big|^2.
\] 当然，由于平移不变性，$n$个点粒子组成的带电体系仅需要$n-1$个变量来描述其波函数。最简单的微观束缚态是由两个粒子组成的体系，如介子。 其电荷密度简单地记为 \[ \rho(\vec r) = \psi^*(\vec r)\psi(\vec r). \]前面的电磁多极矩的公式完全适用这里的量子体系。当然这里的讨论对基本粒子也适用，只不过点粒子的电荷密度是简单的： 例如电子电荷密度为$\rho(\vec r) = -e \delta^3(\vec r)$。
角动量
除了平移对称性外，微观粒子还具有转动对称性，因此带有一个守恒的角动量。与经典世界不同的是，量子世界的角动量是量子化的（这是量子叠加原理的直接体现）：其值为$\hbar$的整数倍或半整数倍。 一个粒子如果带有固定的角动量，则它处在角动量平方算符的本征态： \[\vec j^2 \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) = j(j+1) \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) \\
j_z \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) = m_j \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n).
\]这里 $\vec j = \sum_i \vec\ell_i+\vec s_i$是多体角动量算符，即包含前面定义过的角动量，也包含组分粒子的自旋角动量。 现在先不考虑自旋，并且仅考虑两体体系（例如氢原子、电子偶素、粲夸克偶素等）。此时，$\vec j^2 = \vec \ell^2$，即是前面定义过的轨道角动量算符。则其本征函数即使所谓的球谐函数 \[
\vec \ell^2 Y_{\ell m}(\hat r) = \ell(\ell+1) Y_{\ell m}(\hat r) \\
\ell_z Y_{\ell m}(\hat r) =m Y_{\ell m}(\hat r).
\] 换句话说，波函数可以写成，\[
\psi(\vec r) = R_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\hat r).
\]径向部分的波函数$R(r)$由两个组分粒子之间具体的相互作用决定，可以通过薛定谔方程解出来。现在考虑其球多极矩，即积分：\[
\begin{split}
q_{LM} =& \int \mathrm d^3 r' \, \rho(\vec r') r'^{L} Y_{LM}^*(\hat r') \\
=& \int \mathrm dr' \, r'^{L+2}\big| R_{\ell m}(r') \big|^2 \int \sin\theta' \mathrm d\theta' \mathrm d\phi' Y_{\ell m}^* (\theta', \phi') Y_{\ell m}(\theta', \phi') Y_{LM}^*(\theta', \phi'). \\
\end{split}
\] 其中角方向的积分可以用CG系数或维格纳3-j符号表示出来。其中$L,M$需要满足约束条件：\[
M = 0, \quad 0\le L \le 2\ell, \quad {L = 0 \mod 2}
\] 前两个约束实际上是维格纳-因卡特定理的推论。这样一来，我们仅有$\ell+1$个电多极矩。再加上$\ell$个磁多极矩（不存在磁单极矩），我们现在得到了一个非常重要的结论：
自旋为 j 的体系，只有 2j+1 个独立的电磁多极矩。当然，这个定理我们只是在一个非常特殊的体系得到的（两体体系、非相对论、没有自旋），但可以证明，这个结论对更一般的体系也是成立的。后面我们会进一步阐述它成立的条件。例如，电子的自旋为 1/2，其一共有 2 个电磁极矩。这正是我们开头提到的。
对应原理
相对论性量子理论 与 经典理论
经典电磁极矩
形状因子
模型无关非微扰物理
量子的胜利
