天空为什么是蓝色的?

- 为什么天空是蓝色的(blue)?
- 那是因为你的忧郁.
- - -

天空是蓝色的是因为大气对阳光中不同颜色的纯色光的散射不同.

天空为什么是蓝色的?
按照 Rayleigh 定律 (Strutt, aka. Baron Rayleigh 1904, Einstein 1910), 散射光的强度与光波长四次方成反比. 因此阳光中蓝紫色光被散射的强度较之绿色与红色光的强度更大. 所有散射光混合后进入人眼产生的视觉效应即使浅蓝色.

Rayleigh 散射谱

天空为什么不是紫色的?
在可见光谱中紫色光的散射强度确实大于蓝色光, 这已经考虑到阳光中紫光的成分略少于蓝光, 但视觉效应是各种光的叠加. 尤其, 眼睛对蓝光, 绿光和黄色光的响应远大于紫光. 因此最終呈现的视觉效果与蓝色光(~ 472 nm)相似而非紫色光(~ 400nm). 当然天空的蓝与纯色光蓝色是有差别的. 另外, ~ 8%的人视觉系统迥异于常人, 他们眼中的天空可能与472 nm的蓝光的视觉效果差别更大.

阳光的成分曲线

天空散射光的成分曲线

晚霞为什么是红色?
这也可以解释为什么朝霞和晚霞是红色的. 早晚太阳高度低, 阳光需要穿过厚重的大气进入人眼. 短波的光, 譬如蓝色紫色和绿色光大多数都被路上散射掉了. 所以剩下红色光占主导成份.

是什么散射了阳光?
散射阳光的是大气, 而不是尘埃和水滴, 虽然小的尘埃, 冰晶和水滴也能产生蓝色的散射效果 (譬如岚), 称为Tyndall 现象. 较大的水滴散射的光呈现白色(譬如云). 单个(大气)分子对可见光的散射谱服从Rayleigh定律. 但是假如大气分子均匀排列成晶格, 会产生衍射效果, 而非Rayleigh散射. 而大气分子的无规则分布 (对应于大气密度无规则涨落) 使得大气对阳光的散射服从 Rayleigh 定律, 这是 Einstein 1910 年在波兰物理学家Smoluchowski工作基础上首先得到的.

为什么Rayleigh定律?
当然, Rayleigh定律仅仅是一个近似规律. 一般散射的产生, 是因为入射光的电磁场会诱导散射散射物质的电子密度分布 (电荷分布) 随时间改变, 从而产生各种辐射效果. Rayleigh定律仅适用于入射光波长远大于散射物体尺寸, 观察者远离散射物体的情况. 因为在这种情况下, 仅仅偶极辐射占主导地位. 因此, Rayleigh定律是偶极辐射的结果.

但对于由很多分子组成的宏观物质而言, 分子的分布对散射结果也有很大的影响. 因为最終散射结果, 是各个分子散射结果的叠加. 在 Smoluchowski 和 Einstein 的工作中, 散射源是大气分子组成的宏观小微观大的小球. 这些小球是由大气的密度涨落产生的. 在此基础上, Einstein 推导出直接依赖于大气宏观性质 (气压, 折射律等) 的散射定律. Einstein的方法与现代统计力学方法得到的结果是相同的. 对于其它物质凝聚态模型, 电子的分布即对入射光的响应往往不同于随机分布的偶极子. 加之, 还可能会产生磁偶极辐射. 这些都会导致Rayleigh定律失效.

最后, Rayleigh 定律还指出, 散射光是随角度不同而极化的. 使用偏振片可以检验这一点.

漂流瓶

上: 深空茧
ABB星河历60年.

太空署的探测器发现了一枚来自深空的“茧”. 前几个月虽然陆陆续续也有几枚深空茧发现, 这枚深空茧的发现却非同寻常, 因为这枚茧体积更大构造更复杂. 太空署的智能程式因此判断认为, 这枚茧里很可能存在"虫"本身.

但在偌大的太空署里, 这个消息又算不了什么. 自从去年太空署的河际远征队失去联系以来, 搜寻他们的讯息一直是太空署的首要任务.

这枚茧攻击指数被定为 4, 这意味着它可能携带近距离杀伤性原子核武器. 为此太空署安排了诱捕行动. 诱捕行动很成功, 仅有一只虫落网. 余下捕获的虫立即被送到外星生物实验室进行分析.

出乎科学家预料的是, 成虫本身十分羸弱, 坚固的虫茧本身则是他们加工而成的. 科学家对他们进行了解剖分析. 很快得出重大发现, 所有虫体的所有部分中的遗传物质都包含了几乎相同的加密的信息. 加密的手法如此熟悉, 智能程式不久便破译为河际远征队留在智能生命遗传物质中的最后讯息.

下: 最后讯息
AD 12365年6月7日. Nathan写下最后一段星际日记:

星际远征团在AD 1245年遭遇外星异形袭击, 全军覆灭, 只有上尉Nathan周和电子上尉HAL逃脱. 由于无法回到地球或与地球取得联系, 我们将讯息封存在Vulcan星经过智慧改造的生物DNA中, 希望它们未来能够进化出太空航行, 将星际远征团的最后讯息传达. 为了妥善起见, 以上信息被重复添加在每一篇星际报告. 详情参看星际报告, 假如它能够保留下来.

AD 12365年6月7日, 星际远征任务的第18330天. 这将是封存在Vulcan星智慧生命DNA中的最后一段讯息. 我和HAL将在Vulcan度过最后的岁月. 希望你们能收到我们的最后讯息. 别了, 地球的同胞们; LIVE LONG AND PROSPER!

内森周 (上尉)
HAL (Cyberlieutenant)

汉字按照笔画统计

汉字字典取自Wiktionary, 总计 27877 个汉字.

"知识的代价"和"同行评议"

Logo of the cost of knowledge campaign 

2012年7月6日出版的中国青年报上发表了记者张国先生题名为 "科学界与出版界再燃战火" 的文章, 副标题为 " 出版巨头让人们获得知识的代价过于高昂 ". 报道的这个事情确实不错, 但张先生的文章显然误解了 "知识的代价 (the cost of knowledge)" 运动, 尤其是它与 "同行评议" 的关系.

中国青年报文章

正如报道中所述, "知识的代价" 活动是一场针对学术出版商Elsevier商业定价问题的有组织的抗议活动. 参与者主要来自学术界. 它首先起源于英国数学家 Timothy Gowers 的一篇网络文章:Elsevier — my part in its downfall. Gowers 的论点被Tyler Neylon博士总结在网站 "The Cost of Knowledge" (引述)如下 [1]:

1. They charge exorbitantly high prices for subscriptions to individual journals.
   
   它们对订阅单个杂志征收非常高昂的费用.



2. In the light of these high prices, the only realistic option for many libraries is to agree to buy very large "bundles", which will include many journals that those libraries do not actually want. Elsevier thus makes huge profits by exploiting the fact that some of their journals are essential.
   
   面对如此高的价格, 对图书馆来说唯一现实的选择是订阅庞大的"杂志包(bundle)", 其 中包含了很多图书馆并不需要的杂志. Elsevier通过他们经营着一些顶尖杂志这一事实 牟取暴利.



3. They support measures such as SOPA, PIPA and the Research Works Act , that aim to restrict the free exchange of information.
   
   他们支持SOPA, PIPA 和 Research Works Act 等法案, 旨在限制信息的自由交换.

Gowers 及 The Cost of Knowledge 网站号召学者们抵制 Elsevier 的出版物, 拒绝为 Elsevier 审稿 和担任编辑工作.

Boycott Elsevier

但在张先生的文章仅仅含糊的说抗议的原因是"价格太高", 而后通过引述国内学者的评论, 将这场运动当成了对同行评议的批评. 几位国内学者认为, 学者投稿, 审稿都是免费的, "研究成果都是纳税人的钱", 出版商却借此牟利.学者的工作通过投稿同行审稿然后发表这是同行评议的标准流程. 支持同行评议的杂志大部分都需要用户支付费用来支持这个模式的运营.张先生引述的国内学者的评论实际上都是在批评同行评议模式或是付费杂志模式.

而从这三条来看, 这场运动并非反对同行评议或者付费杂志的模式, 而是反对出版商漫天要价, 并借机搭售劣质产品. 首先杂志需要收费来支持起出版发行及运营是无可厚非的. 问题在于很多顶级杂志定价有垄断的嫌疑. 其次同行评议仍然是学术界的标准, 它是维持研究成果质量的保证. 与发表在哪国的杂志没有任何关系, 因为学术界的成果都是面向全世界开放的.

须知, 同行评议模式并不排斥研究成果的开放获取. 现在学者们往往将文章发表开放文库上.譬如文章中张先生特别提到的开放获取的预印本文库 arXiv. 它是世界上最著名的开放电子文库之一. 此外很多大学和研究机构都有自己的免费文库, 比如 更加激进的viXra 和 Stanford 的SciDoc, 这些非同行评议的文库的最大的问题是文章的泛滥, 无法保证质量. 很多伪科学的作品发表在上面. 当然, 人们开放文库尤其是arXiv的出现已经给学术界的评审带来巨大的影响. 关于非同行评议之外评议制度的讨论散见于各种博客.

但无论如何, 知识的代价运动不应该被误解为对同行评议制度的抗议. 至于付费杂志这一模式, 只要定价合理, 自然也是没问题的.


[1] 来源: http://thecostofknowledge.com/ 2012年7月6日访问

上帝粒子的荣誉归属

摘要: 独立研究者Philip Gibbs在他著名的网站vixra上发表文章分析并预测了所有对 Higgs 理论预言和发现作出贡献的人. 本文是该文的翻译和转述.

根据LHC两个合作组ATLAS和CMS的数据, Higgs 累计事例有望在本年度秋达到给出足够的统计准确度. 随着宣布发现 Higgs 的临近, 上帝粒子荣誉归属问题摆上桌面. 说地更直白一些, 谁将拿到去斯德哥尔摩的机票.

尽管被广泛称为Higgs, 它的首创/发现者实际上并非 Peter Higgs. 至少忙于全球巡回演讲的 Peter 不能独占风头. 2010年Sakurai 奖颁发给了三个合作小组的六个人: Robert Brout and François Englert, Peter Higgs, and Gerald Guralnik, C. Richard Hagen, and Tom Kibble . 巴黎召开的搜寻Higgs 会议上, 组织者将该粒子被称为Brout-Englert-Higgs 玻色子, 以期突出首先在理论上预言了Higgs 的比利时物理学家Brout和Englert的贡献. 但会议惹恼了另外三名发现者的粉丝团. 更不用说P. W. Anderson和他凝聚态物理的粉丝团们一向视之为囊中之物. 所以目前的会议都谨慎地将 Higgs 称为标准模型标量玻色子 (SM scalar boson).

 独立研究者Philip Gibbs在他著名的网站vixra上发表文章分析并预测了所有对Higgs 理论预言和发现作出贡献的人.

 故事发韧于对称性自发破缺 (Spontaneous Symmetry Breaking) 这一概念. 人们很容易天真地认为, 如果一个物理理论 (即 Lagrangian 加边界条件, 假如存在的话) 具有某种对称性, 那么该理论的解, 也应该具有相应的对称性. 不幸的是, 这并不正确. 比如引力是球对称的力, 但行星轨道确实椭圆的, 这种古人认为"不完美"的形状. 牛顿用微分方程的方法解释了, 在经典物理中初始条件会破缺对称性. 量子物理中的相应概念萌芽于海森堡.  海森堡通过一个简单的铁磁模型 (Ising model) 指出, 基态会自发破缺理论的对称性, 因为基态可能是简并的. 尽管所有基态放在一起保持理论的对称性, 任何一个特定的基态却可能破缺它 -- 这是1928年的故事.

1950年, Landau 和 Ginzburg 将海森堡的想法量化, 并以此唯象地解释了超导现象.

1954年 J. Bardeen, L. N. Cooper 和 J. R. Schrieffer (BCS) 关于超导性的微观理论, 尤其是基态是电子配对(而非更加对称的真空态)的描述, 是对称性自发破缺进入物理学家视野的关键一步. 

南部阳一郎听了Schrieffer 的报告后立即将这一想法应用于粒子物理, 直接解释了Pion质量问题 (1960, 1961). Goldstone 将南部的想法推广为Nambu-Goldstone 定理, 并预言了零质量玻色子的存在 (1960).

对称性自发破缺的重要性在建立于Yang-Mills理论基础上的标准模型中显示出来. 电磁场具有Abelian 规范对称性. 这一对称性保证了电荷守恒. 1954年杨振宁和Robert Mills将此推广到non-Abelian的情形, 统称为规范场, 试图以此来描写更复杂的核力. 顺便, Pauli在此前也偷偷发展过这一理论, 并由于如下原因放弃了. Yang-Mills理论在很多方面都是很漂亮的, 但可惜, 这个理论中的规范场粒子不能具有质量, 规范场的质量项会破坏规范对称性.

至此, 这些理论中预言的玻色子都是无质量的.  不幸的是, 这些大量被预言的零质量规范场玻色子并没有被观测到. Yang-Mills理论的难题是, 既要保持规范对称性, 又要避免预言新的零质量的玻色子. 这是对称性自发破缺时代的故事.

第一个将玻色子质量与规范对称性放在一起的是 Stueckelberg, 早在1938年. 与他其他工作一样, Stueckelberg的理论远远超前于时代, 因此过早地被遗忘了.

1962年, 凝聚态物理学家P. W. Anderson发现通过适当的规范变换, 规范场玻色子可以获得质量. Anderson的工作就是凝聚态版本的Higgs机制, 尽管他没有指出该粒子的重要性, 也没有费神把理论推广到相对论情形, 更不用说完整地将理论整理为粒子物理学家想要的版本. 不过粒子物理版本的工作并不直截了当, 因此很多粒子物理学家则不承认Anderson发现/发明了Higgs机制. 

1964年6月26号F. Englert, R. Brout首先提出了粒子物理学家想要的版本的Higgs机制; Englert和Brout的文章指出规范场的玻色子如何通过一种额外的标量玻色场获得质量, 他们详细讨论了Abelian和Non-Abelian的情形, 甚至讨论了这种额外玻色场作为复合场的可能性. 

1964年7月24号, 8月31号, Peter Higgs也投出了他有名的Higgs文章. 他的讨论完整但相对简单, 但他指出了这种额外带质量的标量玻色场的重要性, 为此这种场被称为Higgs. Peter很显然熟悉Anderson的工作, 也认为自己是相对论性理论的推广. 有传言说南部作为Higgs文章的审稿人, 开始拒掉了Peter Higgs的文章, 并建议他在标量玻色子 (即 Higgs) 预言方面多下功夫. Peter Higgs在他的巡回演讲中提到文章被拒使得他有机会将此理论补充完整, 但说完全是他自己修改的. 南部使他注意到Englert和Brout的文章, 并添加了对他们工作的引用.

1964年10月12号, G.S. Guralnik, C.R. Hagen 和 T.W.B. Kibble 投稿了他们的工作. 他们的工作更加完整, 但在文章中, 他们指出已知Englert, Brout和Higgs的文章. 因此他们的工作不被视为原创. 据说他们也是独立做出这一成果, 但临发表时看到了前三者的文章, 便加了进去. 事后非常后悔.

Mexican hat

Mexican hat potential

到1967年, 人们已经清楚了Higgs场通过"墨西哥尖帽"势 (Mexican hat potential) 产生非零的真空期望值, 从而自发破缺电-弱相互作用的 SU(2)xU(1) 对称性, 赋予费米子(以及 Higgs 场的非Goldstone mode, 即 Higgs ) 质量. 而通过 Higgs 机制 (选取特定的规范), 规范场玻色子吞噬掉无质量的Goldstone 场获得质量. Higgs 的实验探测也被提上议程. 这些工作分别由前述作者, 以及Weinberg, Salam, 't Hooft, J. R. Ellis, M. K. Gaillard 和 D. V. Nanopoulos等完成.

 Brout去年 (2011) 去世, 因此很清楚, 炸药奖的角逐最有利的人选为Higgs, Englert. 第三个人选难以是实验学家因为ALTLAS和CMS有无数参与者和负责人. GHK小组不可能三个人都上, 最多Kibble上去, 或都不上. Gibbs还支持Goldstone, 因为在对称性自发破缺方面 Ginzburg 和南部已经获过奖. Anderson也是一个合适的人选, 不过他已经获得过一次炸药奖, 而且他老人家脾气不好, 跟粒子物理学家关系不佳. Weinberg, Salam, Glashaw, 't Hooft已经因为规范场获过炸药奖, 杨振宁和 Mills 倒值得考虑, 不过离 Higgs 太远. Ellis 在 Higgs 探测实验方面的贡献也是值得注意的.

量子色动力学的真空

量子色动力学的真空是什么样子的? 借助格点规范场, Derek Leinweber 给出如下酷的图像:

作用量密度

拓扑荷密度

正反夸克对分离

重子分离中的通量管演示

人体的量子传送

"Beam me up, Scotty!" —— Captain Kirk, from Star Trek

Dumbledor 和 Potter 的 Apparition 

瞬间转移, 或者, 远程瞬间传送是人类最美秒的梦想之一. 除了技术上的困难, 借助量子传输(quantum teleportation) 这也许是可行的. 原理很简单: 我们只需要传输信息, 而非人体的每一个基本粒子. 人的信息是靠粒子来承载的. 但信息也可以使用量子态来承载. 而量子态通过量子纠缠甚至可能瞬间传递. 这就好比电视节目. 录制的时候它们存在于胶片上, 发送的时候我们只需要发送信号即可. 加之世界上所有的基本粒子都相同. 所以只要有了人的全部信息, 就能精确地还原出这个人.

但这里有个问题. 根据量子力学的不可克隆原理, 不可能完全复制一个量子比特 (量子信息存储的最小单位), 而不对原始量子比特产生干扰. 换句话说, 精确克隆的过程会把原始拷贝杀掉, 每一个比特都不剩! 在The Big Bang Theory 里Sheldon就曾提到这点. PBS NOVA介绍量子力学的影片也讲过. 这个传送过程似乎太点残忍了! 而且很明显会带来道德上的困惑.

好消息是, 量子力学并不禁止近似地克隆. 实际上我们可能没有必要完全克隆一个一模一样的人. 这里涉及到一个困扰人类千年, 并且在科学上尚未解决的问题: 意识是什么. 假如意识只是神经细胞的集合, 我们只需要克隆精确到分子甚至细胞层次即可. 这就好比发电报, 尽管跟纸和墨不相同, 消息还是一样的. 除非消息隐藏在纸或者墨里面. 这也可以大大减少信息存储量. 我们可以事先存储好各种分子的信息, 进行传输时, 只需要扫描一个人的具体地分子排列方式即可. 不过这里会带来另外一个问题, 即, 我们实际上不是传送一个人, 而是传送并克隆了一个生物意义上完全相同的人! 原来的人还在原来的地方.

假如意识是某种量子态, 正如The Emperor's New Mind 里Roger Penrose提到的那样 [1], 那么它照样不可克隆. 但该克隆过程不需要在生物意义上杀死一个人. 这似乎会给我们带来解决道德难题的办法: 身体变成一种承载意识的容器, 而意识可以自由传递. 底层控制生命过程的潜意识或许可以作为底层驱动程序存在. 实际上它们可能是与主观意识多多少少有些分离, 因此我们不需要破坏这一部分.

[1]: The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and The Laws of Physics (1989, ISBN 0-14-014534-6 (paperback); it received the Rhone-Poulenc science book prize in 1990)
[2]: http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/
[3]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E5%85%8B%E9%9A%86%E5%8E%9F%E7%90%86

For PBS quantum leap:

Watch The Fabric of the Cosmos: Quantum Leap on PBS. See more from NOVA.

智者四箴

作者: 史蒂文 温伯格


当我获得本科学位的时候 – 貌似是一百年前的事了 – 物理学的文献对我来说好似浩淼无垠的未知海洋. 在我开始自己的研究工作前, 我觉得它的每一部分都必须要探索. 如果不知道所有已经做过的东西, 我怎么能够开始自己的研究呢? 幸运的是,在研院的第一年, 我有幸接触到一些资深物理学家. 他们不理我的那些担心, 坚持要求我先开始做研究, 然后在这个过程中学习所需要的知识. 对于我的科研生涯来说这是一件生死攸关的选择. 让我没有想到的是, 这个方法竟然真的凑效. 我努力尽快拿到PhD学位, 尽管我毕业的时候对物理几乎一无所知. 不过我至少学到了非常重要的一点: 那就是没有人能够知道所有的东西, 因而你也不必.


另外有价值的一课, 如果继续使用我关于海洋的比喻, 就是当你在遨游而不至于沉没的时候, 你应该搏击汹涌的浪潮. 当我六十年代在麻省理工学院(MIT)教书的时候, 一个学生告诉我他想进入广义相对论而非粒子物理领域. 因为前者的理论已经被深入了解了. 而后者在他看来还是一团糟. 这让我非常震惊, 因为他恰恰给了一个研究后者的绝好的理由. 粒子物理仍然是一个杰出工作层出不穷的领域. 确实, 在60s年代粒子物理看起来一团糟糕, 但是自从那个时代开始, 许多理论和实验物理学家已经能够把它的思路逐渐理清, 把所有(好吧，是几乎所有)东西都放在一个优美的理论里 – 这就是有名的标准模型. 因此我的建议是, 到不成熟的领域去 – 那里才是你大展宏图的地方.


我的第三条建议也许是最难让人接受的. 那就是原谅自己的浪费时间. 学生们仅仅被要求去解决那些教授们(除非这个教授不一般的残酷)已知可解的问题. 而且, 无所谓这些问题在科学上是否重要 – 学生们必须通过解决它们来通过考试. 但是在现实世界里, 你很难知道哪些问题是重要的, 你也很难估量在特定的历史时刻某个问题是否能够被解决. 在二十世纪初叶, 一些物理学界的领袖包括洛仑兹和阿伯拉罕(Max Abraham), 试图提出一种电子的理论. 这样做的部分原因是为了理解为什么测量地球穿越以太运动效应的各种尝试都以失败告终. 我们现在知道是他们提出的问题不对. 那个时代, 没有人能够发展出一个关于电子的成功理论, 因为量子力学还没有被发现. 直到1905年, 才由天才的物理学家爱因斯坦认识到, 正确的方向是时空测量效应的运动学效应. 这促使他提出了狭义相对论. 所以, 你永远无法确信什么什么是正确的方向. 你在实验室或者书桌前的大多数时间都是在浪费时间. 如果你想要有创造性, 那么你就要习惯于浪费那些没有创造性的时间, 从而在科学知识的海洋中保持平静.


最后, 学一些科学史, 或者至少要懂一些你自己领域的发展史. 一个不是特别重要的原因是历史可能对你自己的科研工作有些帮助. 比如, 现在科学家困扰过于简单的科学信念. 这些信条不过是由从培根到康德和卡普尔这样一些哲学家提出来的. 科学史往往是科学哲学的最佳解药. 更重要的是, 科学史可以让你的工作看起来对你自己更有价值. 作为一个科学家, 你可能不会很富裕. 你的亲朋好友可能不明白你在做些什么. 如果你在研究诸如粒子物理这样的领域, 你甚至难以做些立马实用的东西. 但你会很高兴你的工作将是历史的一部分.


回溯一百年, 到1903年. 那时候谁是大不列颠的首相或者美国总统又有什么所谓呢? 真正在历史上留下芳名的是McGill大学的卢瑟福和索蒂阐明了放射性的本质. 这项工作(当然!)有实用价值, 但是更重要的是它对人类文明的影响. 对放射性的理解使得物理学家可以解释太阳和地球的核为什么经历几百万年仍然在放热. 这样以来, 地质学家和古生物学家提出的关于地球和太阳古老年龄的最后一个科学上的绊脚石被移除了. 此后, 基督徒和犹太徒不得不放弃圣经中的创世说要么听任他们的不恰当性. 这是自伽利略,牛顿和达尔文至今逐渐削弱教会的教条主义桎锢过程中的坚实一步. 读一读当今任何的一份报纸都能够看到这项工作还没有最终完成. 但是, 人类文明这项工作是科学家们值得自豪的的杰作.

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参考:
Steven Weinberg, Scientist: Four golden lessons, Nature 426, 389 (27 November 2003), doi:10.1038/426389a

其他中文版翻译参见:
张旭 译, 温伯格的金玉四言 - 至开始科学生涯的学生
http://bbs.tongji.net/thread-269174-1-1.html
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物理学并不是一个已经完成的逻辑体系. 相反,它每时每刻都存在着一些观念上的巨大混乱, 有些观念像民间史诗那样,从往昔英雄时代流传下来;而另一些则是像空想小说那样, 从我们对将来的伟大的统一理论的响应中产生出来. – 史蒂芬 温伯格

经典和量子的"冒牌排序"

计算机科学中有一个近乎玩笑的排序算法称为"冒牌排序" (bogosort), 又叫作"猴子排序" (Monkey Sort). 这个算法被称为"典型的糟糕算法". 实现它的步骤是:

第一步: 检查数组是否有序;
如果有序返回结果;
如果乱序:
第二步: 随机排列该数组, 返回第一步.

"冒牌排序"等价于把一堆扑克随机洗牌, 然后检视是否有序. 如果无序, 则继续重复下去. 可想而知, 这个算法的效率是极其低下的. 它的平均时间复杂度为$O(n \cdot n!)$. 相对比之下, 常用的快速排序平均只需要 $O(n \cdot \log n)$ 次操作.

有个调侃量子计算机的笑话, 说利用冒牌排序可以在 $O(n)$ 次操作中完成排序. 原理如下:

第一步: 利用量子计算机将数组随机排列. 根据量子力学的多世界诠释, 每一种可能的排列都会出现在某一个宇宙中.
第二步: 检查每一个宇宙中的数组是否有序. 在每个宇宙中, 这需要 $n-1$ 次操作.
第三步: 摧毁仍然乱序的宇宙. 唯一的幸存者只看到过 $n-1$ 次操作.

算法第三步的实现交给读者作为练习.

当然实际上这个算法的第三步是不可能实现的 (假定多世界诠释是对的, 并且这个数组是量子数组). 因为首先每次测量将会使观察者选择某一个具体的世界, 量子数组亦将选择某一种排列方式. 观察者当然不可能再跳出这个宇宙 (即使摧毁这个宇宙, 因为观察者是宇宙的一部分), 更不用说摧毁其他宇宙.

爱因斯坦的 $c$

Philip Gibbs 在他的 vixra blog 发文章解释相对论中广泛应用符号 $c$ 代表真空光速. 他指出, 实原本1905年9月26号发表在Annalen der Physik 322 (10): 891–921上"论动体的电动力学"中, 爱因斯坦是使用 $V$ 作为真空光速的; 但在1907年, 他忽然切换到 $c$ [1]. Gibbs 指出并分析了下面几个来源:

1. $c$ 代表拉丁文速度 celeritas. 这是Issac Asimov首先在科幻杂志上指出的 [2]. 尽管在历史上曾出现过用$c$表示速度的文章, 但并没有直接证据表明这就是 $c$ 真正的来源.

2. $c$ 代表波速, 是欧拉首先在2维波动方程中引入的 [3]. 欧拉习惯上使用相邻的符号, 比如 $a, b, c$; $x, y, z$; $p, q, r$. 这影响了数代数学家. 在欧拉发展2维波动方程时, 他使用了 $a, b$ 作为其他常数, 因此很自然地使用 $c$ 作为下一个他遇到的常数, 波速.

3. $c$ 代表英文常数constant. 这是1856 由Weber 和 Kohlrausch 首先引入在电磁学中的 [4]. 他们导出一个具有速度量纲的常数, 并用 $c$ 表示. 代表了电力和磁力的相对大小. 在麦克斯韦理论中, 这被统一为光速.

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[1]: 维基文献保存了爱因斯坦的文章: http://en.wikisource.org/wiki/On_the_Electrodynamics_of_Moving_Bodies
费米实验室搜集的爱因斯坦奇迹年文章 (此中使用 $c$, 但在脚注中说明是由英译本更改的):
http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/
1907 年:
A. Einstein, “On the Relativity Principle and the Conclusions Drawn From It”, Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4, pgs 411—462 (1907)

[2]: Isaac Asimov “C for Celeritas” in “The Magazine of Fantasy and Science Fiction”, Nov-59 (1959), reprinted in “Of Time, Space, and Other Things”, Discus (1975), and “Asimov On Physics”, Doubleday (1976)

[3]: L. Euler, “Eclaircissemens Plus Detailles Sur La Generation et La Propagation Du Son Et Sur La Formation De L’Echo”, “Memoires de l’acadamie des sciences de Berlin” [21] (1765), 1767, pgs 335—363 in “Opera physica miscellanea epistolae. Volumen primum”, pg 540

[4]: R. Kohlrausch and W.E. Weber, “Ueber die Elektricitätsmenge, welche bei galvanischen Strömen durch den Querschnitt der Kette fliesst”, Annalen der Physik, 99, pg 10 (1856)

物理学家加入数学盛宴

有一个古老的数学命题说,

宴会定理: 在一场不少于6个人宴会中, 一定存在三个人, 他们之间要么彼此相识, 要么彼此不相识. 

 图一用图形表示了宴会定理情形之一.

图 一: 用图表示的六人宴会. 其中使用图的顶点作为与会人士, 蓝色的边表示陌生, 红色的边表示相识. 宴会定理断言, 一定会存在一个单色(蓝色或红色)的三角形. 读者可以挑战这里的一个Java applet.

当参加宴会的人数为5时, 上述命题不再成立. 图二给出了一个反例. 宴会人数大于6, 我们只要考察其中任意6个人之间的关系, 即可知命题成立. 因此, 可以得出这样的结论: 要使宴会命题成立, 宴会的人数有一个下限. 这个下限, 在数学上被称为Ramsey数, 以纪念英年早夭的英国数学家F. P. Ramsey (1903 - 1930, 去世时年方26岁).

图 二: 一个顶点图使用双色染色但不存在单色三角形的例子. 图例同图一.

Ramsey考虑了这个问题的推广. 比如要使宴会中的一定存在四个人两两相识或陌生, 宴会人数的下限是否存在, 如果存在, 是多少? 五个人, 六个人, 乃至多人的情形将如何? 甚至, 对于相识和陌生人数不等的情形又如何? 1930年, 他最终能够证明这样的下限对任意情况都是存在的. 这样一个定理如今以他命名, 被称为Ramsey定理, 大意如下:

对于任意正整数 $s$ 和 $t$, 存在一个正整数 $n$, 使得当一场宴会的人数不少于 $n$ 时, 其中一定存在要么$s$个人相识要么 $t$ 个人不相识的情况. 

这样的整数 $n$ 统称为Ramsey数, 记作 $R( s, t )$. 宴会定理是Ramsey定理的一个特例, 即 $ s = 3, t = 3$, 而 $R( 3, 3 ) = 6$.

Ramsey证明了Ramsey数对于任意正整数 $ s $ 和 $ t $ 都存在, 却没有给出它的算法. 事实上, $R(s, t)$ 的计算是困扰数学家的难题之一. 迄今为止, $s > 3, t > 3$ 的Ramsey数人们仅仅知道9个, 其他的数人们仅知道他们的大致范围 [1]. 使用穷举方法, 对于有 $n$ 个人参加的宴会, 共有$2^{(n-1)n/2}$ 种情形. 譬如, 已知 $R(5, 5)$ 在 $43 - 49$ 之间. 为了验证 $R(5, 5) = 43$ 是否成立, 需要穷举 $2^{903}$ 种情形. 使用2 GHz的计算机 (每秒计算 $2^{10}$ 次), 仍需 $10^{261}$ 年. 对比之下, 宇宙的年龄才 $10^{11}$ 年.

为了说明Ramsey数的计算复杂度, 匈牙利著名数学家Paul Erdos(1913 - 1996)曾讲过一个故事 [2].

假设有个比我们强大很多的外星人军团在地球登陆, 要求地球人给出 R(5, 5) 的准确值否则将会摧毁地球. 那么, 我们应该立刻集合所有数学家和所有计算机来找到它. 但假如他们要求的是 R(6, 6) 的值, 我们转而应当设法消灭强大的外星人.

现在物理学家正在加入这场盛宴. 美国物理学家Frank Gaitan和Lane Clark提出, Erdos和其他数学家不必对计算Ramsey数的复杂性感到悲观. 因为未来量子计算机也许可以解决这个问题 [5]. 据APS Physics报道, 他们提出了一种可以计算Ramsey数的量子算法 [4]. 在这种算法中, 他们引入了一个 Hamilton量, 其态空间包含了所有图的构型. 同时当图的顶点的个数小于Ramsey数时, 此Hamilton量的基态能量为零. 否则基态能量不为零. 他们首先使用一个易于获得的含时Hamilton量, 然后绝热地演化到前述Hamilton量, 最后再测量此时的基态能量. 需要注意的是, 由于量子力学的特性, 量子计算给出的结果是随机性的. 只能够通过多次测量, 以较高的概率确定Ramsey数的值.

由于量子算法可以使用普通计算机上来模拟, 尽管速度会非常慢, Gaitan和Clark使用他们的算法对较小的几个Ramsey数的值进行了模拟并与数学家给出的结果相符 (表 一).

表 一: Gaitan & Clark使用他们的算法对小Ramsey数进行的模拟结果.

Gaitan和Clark的算法, 给使用量子计算机解决数学和科学中的计算难题带来了新的希望. 人们已知, 对于某些能够在经典计算机(Universal Turing Machine)上快速验证(P), 但至今未找到算法快速解决的问题(NP), 可能能在量子计算机上快速解决(BQP). 整数分解质因数的 Shor算法提供了第一个这样的例子. 进一步, 量子计算机还可能快速解决某些甚至不能在经典计算机上快速验证的问题. Gaitan和Clark的算法有可能证明量子计算机的某些远超经典计算机的计算能力. 无论如何, 物理学家加入这场数学盛宴, 将给未来科学带来难以预计的震撼.

图 三: 量子计算, 在计算复杂性中可能的位置. P 表示可以在多项式时间内解决的问题. NP表示, 可以在多项式时间内验证(证实)的问题. 类似的co-NP则是可以在多项式时间内证否的问题. NP-complete 或 NPC 是NP问题中最难的一类. PSPACE 是可以以多项式空间内, 以多项式时间解决的问题. BQP是量子计算机可以以多项式时间解决的问题. 在计算科学中, NP = P? 是个悬而未决的重大问题. 进一步, 人们问, P = PSPACE? 一般认为, NP != P. 而对量子计算来说, BQP则被认为包含P, 与NP有交集但不包含NP的全部 [3].

参考:
[1] Weisstein, Eric W. "Ramsey Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RamseyNumber.html
[2] L. Graham and Joel H. Spencer, in Scientific American (July 1990), p. 112-117
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_computer#Relation_to_computational_complexity_theory
[4] Synopsis: Quantum Search for Elusive Numbers
[5] Frank Gaitan and Lane Clark, Ramsey Numbers and Adiabatic Quantum Computing, PRL 108, 010501 (2012)