全同粒子与统计性质
相比与宏观世界的千千万万，微观世界则要简单的多：同种粒子都是不可分辨的。 譬如，世界上所有的电子本质上都是一样的。 我们把同种粒子叫做“全同粒子” —— 实际上，不可分辨粒子的量子数（如坐标位置、动量、能量等）仍然可能是不同的，甚至在內秉自由度比较小的情况下复合粒子（如质子）也呈现出不可分辨性。 因此微观粒子的不可分辨性最好能用一个更具操作性的定义来表述。首先考虑两个粒子的情况。双粒子的不可分辨性定义为，两个自由粒子在对换位置以后整体量子态与之前相同。 用数学表达式可以写成 \[
\psi(a, b) = \psi(b, a),
\] 这里 $\psi(a, b)$ 代表双粒子波函数（态矢量），其中 $a, b$ 是用来标记单粒子态的量子数。 根据量子力学，一个波函数与它乘上任意复数以后得到的波函数表示同一个量子态。 为了数学上的方便，人们使用归一的波函数，即$|\psi(a,b)|=|\psi(b,a)|=1$。 因此上面的表达式应当写成 \[
\psi(a, b) = e^{i\delta}\psi(b, a), \quad (\delta \in \mathbb R)
\] 这里 $e^{i\delta}$ 是个单位相因子，一般来说它可能依赖于粒子的量子数乃至对换方法等。 满足 $\delta = 0$ 的粒子显然是最简单的一类全同粒子，这类粒子叫做玻色子。 光子、胶子、W、Z都是玻色子，希戈斯粒子也是玻色子，复合粒子中氦-IV也表现为玻色子。 满足 $\delta = \pi$ 或 $e^{i\delta} = -1$ 的粒子是另一类全同粒子， 叫做费米子。 电子是费米子，复合粒子中的质子、中子等都是费米子，氦-III则表现为费米子。 费米子有个独特的性质，叫做“泡利不相容原理”，曰：两个费米子不能占据完全相同的量子数。 这是因为，根据全同粒子的定义若两个费米子的量子数完全相同，则 $\psi(a, a) = -\psi(a, a)$，其结果是粒子整体的波函数只能为零 $\psi(a, a) = 0$。
那么是否还有其他种类的粒子呢，譬如 $\delta = \pi/2$ 或 $e^{i\delta} = i$ ？ 若假定 $\delta$ 与粒子对换的具体方式无关， 便没有其他种类的粒子了。 这是因为，对换两次以后，双粒子体系到原先的量子态， \[
\psi(a, b) = e^{i\delta} \psi(b, a) = e^{i2\delta}\psi(a,b),
\] 因此 $e^{i2\delta} = 1$，令 $C = e^{i\delta}$ 则 $C^2 = 1$，显然 $e^{i\delta} = C = \pm 1$。因此在相位与粒子对换方式无关的情况下，费米子和玻色子已经涵盖了所有的可能。
上面关于双粒子体系的不可分辨性还可以推广到多粒子体系。 这时候我们需要考虑所有的粒子置换。 譬如在仨粒子体系中， 对于粒子 $(a, b, c)$ 一共有五种置换方式，按照结果列举为：$(a, c, b)$, $(b, a, c)$, $(b, c, a)$, $(c, a, b)$, $(c, b, a)$。 对于一个n粒子体系， 不同的置换方式一共有(n!-1)种，再加上不置换（单位元），构成一个“群”即置换群，记为$S_n$。 显然，多粒子体系的不可分辨性需要考虑所有置换群群元作用下的结果。 首先引入一些记号： 将n个粒子的量子数记为 $q=(a_1, a_2, \cdots a_n)$。 对于每一个置换操作 $\sigma \in S_n$， 置换以后的粒子的量子数记为 $\sigma q$。 类比于双粒子体系，我们可将n个自由粒子体系中的粒子不可分辨性定义为，置换前后的波函数仅差一个依赖于置换操作的相位，即：\[
\forall \sigma \in S_n, \quad \psi(q) = e^{i\delta(\sigma)} \psi(\sigma q), \quad (\delta(\sigma) \in \mathbb R)
\] 但某一个置换可以通过多个其他的置换复合得到。 假如置换后的相位与粒子置换的具体方式无关，那么相因子应当满足，\[
\forall \sigma, \rho \in S_n, \quad e^{i\delta(\sigma\rho)} = e^{i\delta(\sigma)+i\delta(\rho)}.
\] 另外，对于单位元 $e$， 相因子应当为一，或 $\delta(e) = 0$。 当相因子满足这些条件时， 称其为置换群的一个一维群表示。 上面已经说过对于两粒子体系仅有两种相因子，即两个一维表示。 这个结论对于一般置换群 $S_n$ 仍然成立： $S_n$ 仅有两个一维表示，要么 $\forall \sigma \in S_n, e^{i\delta(\sigma)} \equiv 1$； 要么 $\forall \sigma \in S_n, e^{i\delta(\sigma)} = \mathrm{sgn}(\sigma)$， 其中 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ 表示置换 $\sigma$ 的“迹”又叫“奇性”：当置换可以表示为奇数个两两对换时其迹为-1，否则为+1。 显然第一种表示对应的是玻色子；第二种表示对应的是费米子。 n粒子中的任意两个费米子都满足“泡利不相容原理”。
全同粒子的置换性质直接影响着其在正则系综中的统计分布。 在经典统计物理中，由大量（$\sim N_A$）近自由粒子组成的温度为 $T$ 的正则系综，在达到热平衡时，粒子按照玻尔兹曼分布 \[
\langle N_i \rangle = g_i e^{-\beta (\varepsilon_i - \mu)},
\] 其中$\langle N_i \rangle$ 是平均粒子数， $\varepsilon_i$ 为在能级 $i$ 的能量， $\beta = \frac{1}{k_BT}$ 为倒易温度， $\mu$ 为化学势，$g_i$ 为能级 $i$ 的简并度。玻尔兹曼分布仅适用于经典可分辨粒子。当粒子之间的波函数开始有较大重叠时（德布洛意波波长达到粒子间距），全同粒子的交换性开始起作用，需要使用所谓的“全同分布”。 近自由的费米子满足“费米-狄拉克”分布 \[
\langle N_i \rangle = \frac{g_i}{e^{\beta (\varepsilon_i - \mu)} + 1};
\] 而玻色子则满足“玻色-爱因斯坦”分布 \[
\langle N_i \rangle = \frac{g_i}{e^{\beta (\varepsilon_i - \mu)} - 1}.
\] 由于这个原因，全同粒子的置换性质一般被称为粒子的统计性质。
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