2014年9月15日星期一

电子的大小


电子有多大呢? —— 或许应该问,电子有多小呢?电子的静止质量为 0.511 MeV/$c^2$, 换算成公制约合 $9\times 10^{-31}$ kg. 那么电子的尺寸有多大呢?这个问题却很难回答。当今最精密的实验确定电子的半径小于$10^{-22} \mathrm{m}$。

在经典物理中,人们曾设想电子的的质量全部来自电磁能,据此电子的半径应为 \[
r_c = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 c^2} \simeq 1.4 \times 10^{-15} \mathrm{m}.
\] 这就是所谓的电子的经典半径,这里已经假定电子的全部电荷分布在球面上。但是电子不光有电荷,还有所谓的自旋磁矩,约为$\frac{\hbar e}{2m_e}$. 再次按照经典的观点,它是由电子自旋引起来的。若假定电子电荷分布与质量分布相同 $\vec\mu = -g\frac{e}{2m_e}\vec{L}$, 这里$\vec{L}$是角动量, 其大小应为$\frac{1}{2}\hbar$,$g$为所谓约化旋磁比,大小为2. 根据这个条件,电子的半径$r$与其自旋角动量$\omega$应当满足$\frac{1}{2}\hbar = \frac{2}{3} m\omega r^2$. 若代入所谓的经典半径$r \to r_c$, 可算出电子“表面速度”$\omega r = \frac{3}{4} \frac{\hbar}{m_e r_c} \simeq 200c$, 约为光速200多倍。这显然违悖了相对论的原则。这是电子经典半径的反对论据。

其实以上论据本身就有些问题。比如既然电子有高速的自旋,其自旋能量自然应当对总质量有贡献。我们可以讲电子静止质量$m_e$拆分成三部分,电磁能量E,真正的静止质量m和自旋动能T。这样以来同时满足能量关系和角动量关系,并且电子表面速度小于光速是有可能的。为了方便起见,引入以下参数:$\xi = \frac{m}{m_e}$, $\beta = \frac{\omega r}{c}$, 这两个量都应当在0与1之间。$\lambda_e = \frac{h}{m_e c}$为电子的康普顿波长,$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} = \frac{\lambda_e}{4\pi r_c}$ 为精细结构常数。电子质量和角动量关系分别给出:\[
m_e c^2 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} + m c^2 \frac{1}{2\beta}\log\frac{1+\beta}{1-\beta} \\
\frac{1}{2}\hbar = \frac{2}{3} m \omega r^2
\] 由此可以得到:$\xi = \frac{2}{\frac{4}{3}\alpha \beta + \frac{1}{\beta}\log\frac{1+\beta}{1-\beta}}$, $\frac{r}{r_c} = 1 + \frac{3}{4}\frac{1}{\alpha\beta^2}\log\frac{1+\beta}{1-\beta}$. 这两个量都是$\beta = \frac{\omega r}{c}$的函数。根据下图,当$0 < \beta < 1$ 时显然 $0 < \xi < 1$ 是合乎要求的。电子半径 $r$ 在$\beta$取0.796时取到最小值,为$r = 354 r_c \simeq 5\times 10^{-29} \mathrm{m}$。此时电子真正的静止质量与总静止质量之比为$\xi = \frac{m}{m_e} \simeq 0.73$.



粒子物理中,电子是所谓的基本粒子,即它是“原料”——标准模型的一部分,标准模型无从得知,其又不具有自我预言性,电子结构便无从而知。并且即使最强大的对撞机也不曾粉碎电子或探知电子的内部结构,粒子物理学家只好将其视为点粒子。

事实上,量子场论作为一个多体理论,已经模糊了单粒子和多粒子的界限。电子周围由于电磁相互作用对真空的影响,不断产生和湮灭着光子和虚正负电子对,广义的讲这些可以被视为电子结构的一部分。据此可以计算电子的均方根电荷半径(rms charge radius)。量子电动力学的结果是:\[
 r_\mathrm{rms}^2 = \frac{\hbar^2}{m^2_ec^2} \frac{\alpha}{\pi} \left[\log{m^2_e}/{m_\gamma^2} - \frac{23}{20} \right]
\] 其中$ \frac{\hbar}{m_e} $等于电子的约化康普顿半径,$m_\gamma$为光子的质量,这实际上是一个红外正规子(Infra-Red Regulator) 。当光子质量取零时(这正是物理世界的情形),电子的均方根半径变得无穷大。这实际上不奇怪。均方根电荷半径与相互作用的半径相关,库仑力作为长程相互作用,其作用半径自然是无穷大的。


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