谁点的费米子？（二）

二次量子化

考虑n个不同的自由粒子，其哈密顿量 $H$ 为 各个粒子哈密顿量 $H_i, ([H_i, H_j] = 0)$ 的叠加，因此n-体波函数为单粒子波函数的张量积（直积） $$\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \psi_1(a_1)\psi_2(a_2) \cdots \psi_n(a_n).$$ 数学上，记单粒子波函数的希尔伯特空间为 $V$, 其张量积记为 $V^{\otimes n} = \otimes_i^n V_i$，$T(V) = \oplus_n V^{\otimes n}\; (V^{\otimes 0} \simeq \mathbb C)$ 叫做张量代数。类似地，由n个自由玻色子或费米子构成的体系，其波函数也可以视为单粒子波函数的直积。但由于全同粒子体系需要满足置换关系，n-体的波函数是粒子希尔伯特空间张量积的一个对称（玻色子）或反对称（费米子）子集。显然该对称或反对称子集也构成希尔伯特空间，分别称作单粒子希尔伯特空间的对称积和反对称积，分别记为 $\mathrm{Sym}^n(V)$ 和 $\bigwedge^n(V)$，$\mathrm{Sym}(V) = \oplus_n \mathrm{Sym}^n(V)$ 叫做对称代数，$\bigwedge(V) = \oplus_n \bigwedge^n(V)$ 叫做反对称代数或外代数。在物理上，张量代数叫做福克空间。玻色子福克空间的一个波函数形如， $$\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \sqrt{\frac{|G_A|}{n!}}\sum_{\sigma\in S_n/G_A} \psi_1(a_{\sigma(1)})\psi_2(a_{\sigma(2)}) \cdots \psi_n(a_{\sigma(n)}).$$ 这里，$A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}$ 为单粒子量子数的集合，$G_A$ 是 $A$ 的稳定子群，$G_A = \{ \sigma \in S_n | (a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, \cdots, a_{\sigma(n)}) = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$，$G_A$ 中的置换仅会带来重复，而不会带来新的态，因此需要扣除。例如所有量子数都相同的情形 $a_1 = a_2 = \cdots a_n$，显然任何置换不改变量子态的序列，因此 $G_A = S_n$。由于波函数已经是对称的了，显然不需要任何置换 —— 这与 $S_n/G_A = I$ 是相符合的。因子 $\sqrt{\frac{|G_A|}{n!}}$ 是为了归一化。费米子福克空间的一个波函数形如， $$\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)~ \psi_1(a_{\sigma(1)})\psi_2(a_{\sigma(2)}) \cdots \psi_n(a_{\sigma(n)}) \\  = \begin{vmatrix} \psi_1(a_1) & \psi_1(a_2) & \cdots &\psi_1(a_n) \\ \psi_2(a_1) & \psi_2(a_2) & \cdots &\psi_2(a_n) \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \psi_n(a_1) & \psi_n(a_2) & \cdots &\psi_n(a_n) \end{vmatrix}$$ 称作斯莱特行列式。

用直积直接处理多粒子态，尤其是全同粒子态，显然是不方便的。为了方便期间，我们引入所谓的粒子数记号。假定多体直积态 $\psi$ 中分别含有 $n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots$ 个量子数为 $a_1, a_2, \cdots, a_k, \cdots$ ($a_i \ne a_j$ 若 $i\ne j$) 的单粒子态，则记该态为 $| n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle$（若某一量子态 $a_i$ 不存在，则 $n_i = 0$）。这样可以统一的处理不同粒子数目的全同粒子态。进一步引入能够改变粒子数目的算符，这样的算符叫做二次量子化算符。 在量子力学中，不能改变粒子数的算符叫做一次量子化算符，例如非相对论单粒子量子力学中的算符。二次量子化算符将单粒子的希尔伯特空间扩张到多粒子希尔伯特空间（福克空间）。最简单的二次量子化算符为产生算符 $\alpha^\dagger_i$ 和消灭算符 $\alpha_i$，其分别在多体态上产生和消灭一个粒子 $$\begin{split} & \alpha^\dagger_k | n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle = \sqrt{n_k+1}~| n_1, n_2, \cdots, n_k+1, \cdots \rangle, \\ & \alpha_k | n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle = \sqrt{n_k}~| n_1, n_2, \cdots, n_k-1, \cdots \rangle \end{split}$$ 由于粒子数不能为负数，$\alpha_k~| n_1, n_2, \cdots, n_k＝0, \cdots \rangle = 0$。容易证明，玻色子的产生消灭算符满足对易关系 $$[\alpha_a, \alpha_b] = 0, [\alpha_a, \alpha^\dagger_b] = \delta_{ab}, \quad ([A, B] = AB-BA)$$ 而费米子的产生消灭算符满足反对易关系 $$\{\alpha_a, \alpha_b\} = 0, \{\alpha_a, \alpha^\dagger_b\} = \delta_{ab}, \quad (\{A, B\} = AB+BA)$$ 这是非常重要的关系，由此全同粒子的置换性质（又叫统计性质）等价与产生消灭算符的对易或反对易关系。

产生、消灭算符并不约束粒子个数的上限。当然，粒子的个数取决与哈密顿量。 为了描写基本粒子或准粒子的反应，常常需要能够改变粒子数目的哈密顿量，这样以来系统可能的粒子数将会从零个到无穷多个。 这正是前面提到的张量代数与其子代数 —— 对称和反对称代数。

由产生消灭算符还可以构造一类更加重要的二次量子化算符，场算符。 顾名思义，场算符包含有时空分布的信息，因此特别适用于考察时空性质（如时间演化、时空关联、洛伦兹对称性、规范对称性等）。 自由粒子的场算符可以用产生消灭算符表示为 $$\hat\varphi(\vec x) = \sum_a \psi_a(\vec x) \alpha_a, \quad \hat\varphi^\dagger(\vec x) = \sum_a  \psi^*_a(\vec x) \alpha_a^\dagger$$ 其中 $\psi_a(\vec x) \equiv \langle \vec x | a\rangle$ 称作波包，平面波 $\psi_\vec{k}(\vec x) = \mathscr N e^{i \vec k \cdot \vec x}$、高斯波包 $\psi_a(\vec x) = \mathscr N e^{-\frac{\vec x^2}{4a^2}}$  是两类常用的波包。 $\hat\varphi^\dagger(\vec x)|0\rangle = | \vec x \rangle$ 在 $\vec x$ 产生一个量子态， 而 $\psi_a(\vec x) = \langle 0 | \hat\varphi(\vec x) \alpha_a^\dagger | 0 \rangle$ 是波包。 双粒子的波包 $\langle \vec x,\vec y| a,b \rangle = \langle 0 | \hat\varphi(\vec x)\hat\varphi(\vec y) \alpha^\dagger_a \alpha^\dagger_b | 0\rangle = \psi_a(\vec x) \psi_b(\vec y) \pm \psi_a(\vec y)\psi_b(\vec x)$ 则满足全同粒子波函数的置换关系。 我们可以转入海森堡表象， 即定义 $\varphi(x) = e^{iHt}\hat\varphi(\vec x) e^{-iHt}$， 现在时间和空间被放在了同等地位，$\varphi(x)$ 叫做量子场。 量子场可以很方便的表示出洛伦兹对称性来，因此可以作为场论中基本的物理对象。







［待续未完］