Processing math: 100%

2014年11月1日星期六

谁点的费米子?(一)

全同粒子与统计性质

相比与宏观世界的千千万万,微观世界则要简单的多:同种粒子都是不可分辨的。 譬如,世界上所有的电子本质上都是一样的。 我们把同种粒子叫做“全同粒子” —— 实际上,不可分辨粒子的量子数(如坐标位置、动量、能量等)仍然可能是不同的,甚至在內秉自由度比较小的情况下复合粒子(如质子)也呈现出不可分辨性。 因此微观粒子的不可分辨性最好能用一个更具操作性的定义来表述。

首先考虑两个粒子的情况。双粒子的不可分辨性定义为,两个自由粒子在对换位置以后整体量子态与之前相同。 用数学表达式可以写成 ψ(a,b)=ψ(b,a),
这里 ψ(a,b) 代表双粒子波函数(态矢量),其中 a,b 是用来标记单粒子态的量子数。 根据量子力学,一个波函数与它乘上任意复数以后得到的波函数表示同一个量子态。 为了数学上的方便,人们使用归一的波函数,即|ψ(a,b)|=|ψ(b,a)|=1。 因此上面的表达式应当写成 ψ(a,b)=eiδψ(b,a),(δR)
这里 eiδ 是个单位相因子,一般来说它可能依赖于粒子的量子数乃至对换方法等。 满足 δ=0 的粒子显然是最简单的一类全同粒子,这类粒子叫做玻色子。 光子、胶子、W、Z都是玻色子,希戈斯粒子也是玻色子,复合粒子中氦-IV也表现为玻色子。 满足 δ=πeiδ=1 的粒子是另一类全同粒子, 叫做费米子。 电子是费米子,复合粒子中的质子、中子等都是费米子,氦-III则表现为费米子。 费米子有个独特的性质,叫做“泡利不相容原理”,曰:两个费米子不能占据完全相同的量子数。 这是因为,根据全同粒子的定义若两个费米子的量子数完全相同,则 ψ(a,a)=ψ(a,a),其结果是粒子整体的波函数只能为零 ψ(a,a)=0

那么是否还有其他种类的粒子呢,譬如 δ=π/2eiδ=i ? 若假定 δ 与粒子对换的具体方式无关, 便没有其他种类的粒子了。 这是因为,对换两次以后,双粒子体系到原先的量子态, ψ(a,b)=eiδψ(b,a)=ei2δψ(a,b),
因此 ei2δ=1,令 C=eiδC2=1,显然 eiδ=C=±1。因此在相位与粒子对换方式无关的情况下,费米子和玻色子已经涵盖了所有的可能。

上面关于双粒子体系的不可分辨性还可以推广到多粒子体系。 这时候我们需要考虑所有的粒子置换。 譬如在仨粒子体系中, 对于粒子 (a,b,c) 一共有五种置换方式,按照结果列举为:(a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)。 对于一个n粒子体系, 不同的置换方式一共有(n!-1)种,再加上不置换(单位元),构成一个“群”即置换群,记为Sn。 显然,多粒子体系的不可分辨性需要考虑所有置换群群元作用下的结果。 首先引入一些记号: 将n个粒子的量子数记为 q=(a1,a2,an)。 对于每一个置换操作 σSn, 置换以后的粒子的量子数记为 σq。 类比于双粒子体系,我们可将n个自由粒子体系中的粒子不可分辨性定义为,置换前后的波函数仅差一个依赖于置换操作的相位,即:σSn,ψ(q)=eiδ(σ)ψ(σq),(δ(σ)R)
但某一个置换可以通过多个其他的置换复合得到。 假如置换后的相位与粒子置换的具体方式无关,那么相因子应当满足,σ,ρSn,eiδ(σρ)=eiδ(σ)+iδ(ρ).
另外,对于单位元 e, 相因子应当为一,或 δ(e)=0。 当相因子满足这些条件时, 称其为置换群的一个一维群表示。 上面已经说过对于两粒子体系仅有两种相因子,即两个一维表示。 这个结论对于一般置换群 Sn 仍然成立: Sn 仅有两个一维表示,要么 σSn,eiδ(σ)1; 要么 σSn,eiδ(σ)=sgn(σ), 其中 sgn(σ) 表示置换 σ 的“迹”又叫“奇性”:当置换可以表示为奇数个两两对换时其迹为-1,否则为+1。 显然第一种表示对应的是玻色子;第二种表示对应的是费米子。 n粒子中的任意两个费米子都满足“泡利不相容原理”。

全同粒子的置换性质直接影响着其在正则系综中的统计分布。 在经典统计物理中,由大量(NA)近自由粒子组成的温度为 T 的正则系综,在达到热平衡时,粒子按照玻尔兹曼分布 Ni=gieβ(εiμ),
其中Ni 是平均粒子数, εi 为在能级 i 的能量, β=1kBT 为倒易温度, μ 为化学势,gi 为能级 i 的简并度。玻尔兹曼分布仅适用于经典可分辨粒子。当粒子之间的波函数开始有较大重叠时(德布洛意波波长达到粒子间距),全同粒子的交换性开始起作用,需要使用所谓的“全同分布”。 近自由的费米子满足“费米-狄拉克”分布 Ni=gieβ(εiμ)+1;
而玻色子则满足“玻色-爱因斯坦”分布  Ni=gieβ(εiμ)1.
由于这个原因,全同粒子的置换性质一般被称为粒子的统计性质。



自旋-统计定理


路径积分



贰加壹维,(2+1)d



超对称




没有评论:

发表评论