谁点的费米子？（三）

路径积分

全同粒子对换前后波函数差一个相因子 $$\psi(a, b) = e^{i\delta} \psi(b, a)$$ 若相位 $\delta$ 与粒子对换的具体方式无关，则仅有玻色子和费米子两种全同粒子。我们现在考虑更一般的情形，即相因子与粒子对换的方式有关。显然当相因子与粒子的具体对换方式有关时，已经无法单纯的在波函数基础上考察这个问题。我们需要考察一个粒子对换的具体的物理过程。

首先考虑一个全同粒子弹性散射实验（图一）。设初态 $t_i$ 的波函数为 $\psi(a, b)$ 其中 a，b 分别为初态全同粒子的量子数。经过时间演化 —— 即所谓的散射过程——以后，在 $t_f$ 时系统波函数为 $U(t_f, t_i)\psi(a,b)$，其中 $U(t_2, t_1) = e^{-iH(t_2-t_1)}$ 是所谓的时间演化算符。我们将该波函数投影到探测器定义的末态 $\varphi(a', b')$ 上，便得到散射振幅，$\mathcal M = \big( \varphi(a', b'), U(t_f, t_i)\psi(a, b) \big)$。

图一：两个全同粒子的弹性散射实验。图来自费曼物理学讲义，卷三，第四章第一节。为了避免混淆，我们用大写字母A、B重新标记过程a、b。

图一画出了 $\theta$处计数器探测到粒子时有可能发生的两个过程。由于全同粒子的不可分辨性，A、B两个过程都对散射振幅都有贡献，但总振幅并非两个振幅 $\mathcal M_A$，$\mathcal M_B$ 的简单相加，而是有一个相因子，$\mathcal M = \mathcal M_A + e^{i\varpi} \mathcal M_B$。不难猜到，该相因子恰好为全同粒子交换产生的相因子。例如，在电子－电子散射（穆勒散射）中，总振幅等于t－道振幅与u－道振幅之差，$\mathcal M = \mathcal M_t - \mathcal M_u$。当然，电子是费米子，其相因子可以直接利用初、末态波函数的对称性直接得到。为了计算更一般的物理过程的振幅，我们可以采用路径积分的方法。

图二：电子-电子散射过程的树图阶费曼图。

根据路径积分，散射振幅 $$\mathcal M = \big( \varphi_{t'}, U(t', t)\psi_{t} \big) = \int \mathrm d^{2d}z\, \mathrm d^{2d}z'\, \varphi_{t'}(z') \mathcal K(z', z; t', t) \psi_t(z)$$ 这里，$z = (\vec x_1, \vec x_2)$ 是 $2d$ 个描述波函数的两个独立坐标（量子数），$d$ 是时空维度；$\varphi_t(z) = (z, \varphi_t)$ 是波函数 $\varphi$ 在 $t$ 时刻坐标表象下的波函数；$\mathcal K(z', z; t', t)$ 是薛定谔方程的基本解，叫做传播子，在路径积分里， $$\mathcal K(z', z; t', t) = \int_{z,t}^{z',t'} \mathcal D^{2d}_{z(t)}\: e^{iS[z(t)]}, \quad (t' \ge t).$$ 注意，在两粒子体系，路径积分里每一条“路径”当为两粒子空间的路径，相当于两个单粒子路径。两粒子空间称为构型空间，记为 $X_2$。由于没有相互作用，两体构型空间是充分的。在3+1维时空里（d=3），构型空间 $X_2$ 中的路径有如图三所示的A、B两种拓扑结构，因此传播子可以写成： $$\mathcal K = \chi(A) \mathcal K(A) + \chi(B) \mathcal K(B)$$ 其中 $\mathcal K(A)$ 仅对第一种拓扑路径进行路径积分，权重因子 $\chi(A)$ 依赖于具体理论的做用量 $S$，一般来源于所谓的“拓扑项”。这正是非单连通相空间里两体全同粒子散射振幅的一般形式（见 Schulman, Phys. Rev. 176, 1558 (1968)）。 这可以视为路径积分在非单连通相空间的推广。

图三：全同粒子散射过程的时空图。

为了理解拓扑项，我们可以看一个简单的例子：A－B效应。根据最小耦合原理，每个电子的作用量可以写作， $S = S_0 - e\int \mathrm dt\, \vec{v} \cdot \vec A$。其中 $S_0$ 是自由粒子作用量，$\vec v = \mathrm d \vec q / \mathrm dt$ 是粒子速度。因此电磁耦合项可以写成曲线积分 $-e\int_\gamma \mathrm d\vec q\cdot \vec A$。在A－B效应中，磁场仅存在于螺线管内。因此对电子局部的运动轨迹没有任何影响 —— 电子的运动轨道与这一项不存在时完全相同的（假定电子无法进入螺线管内部）。但是磁场的存在，将粒子的路径按照拓扑结构分成了若干类，例如图四中的路径$q_1, q_2, q_3$。任意两条路径的相对相位为 $\delta = e \oint \mathrm d\vec q \cdot \vec A = en\Phi$, $n\in \mathbb Z$，其中$\Phi = \int \mathrm d\vec a\cdot\vec B$ 为螺线管的磁通量。

图四：A－B效应示意图。

更一般地，我们可以考虑n体全同粒子体系。首先记n个全同粒子的构型空间为 $$X_n = \{ (z_1, z_2, \cdots, z_n) \mid z_i \in \mathbb R^d; \forall i\ne j, z_i \ne z_j\}/S_n$$ 注意，构型空间的每一条路径，不再对应一条坐标空间的路径。我们将构型空间的每条路径称为一条“辫子”（图五所示）。令 $x_i, x_f \in X_n$ 为初态与末态在构型空间的位置，于是n粒子的传播子可以写成， $$\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \int_{x_i,t_i}^{x_f,t_f} \mathcal D_{\mathcal{B}} \: e^{iS[\mathcal B]}.$$ 再一次地，散射振幅仅仅是传播子与初、末态波函数的卷积 $$\mathcal M_{fi} = \int \mathrm d^{nd}x_i\,\mathrm d^{nd}x_f \varphi_{t_f}(x_f) \mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) \psi_{t_i}(x_i)$$ 因此我们只需要考虑传播子即可。

图五：一条五粒子的“辫子”。

我们将所有辫子按照其拓扑结构分类然后分别求和。 如果两条辫子可以通过连续的变形成为彼此，它们就被分到一个拓扑类里面，这种分类方法叫做同伦，每一种拓扑类叫做同伦类，所有同伦类的集合记为 $\pi(X_n, x_i, x_f)$。 因此，散射振幅可以写成， $$\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \sum_{\alpha\in \pi(X_n, x_i, x_f)} \chi(\alpha) \int_\alpha \mathcal D_\mathcal{B} e^{iS[\mathcal B]} \equiv \sum_{\alpha\in \pi(X_n, x_i, x_f)} \chi(\alpha) \mathcal K(\alpha)$$ 这里 $\chi(\alpha)$ 是同伦类 $\alpha$ 的权重因子。 这个结果可以加强为：

(Laidlaw-DeWitt, 1971)
设 $\pi_1(X_n, x)$ 为构型空间 $X_n$ 的一阶同伦群，$x_0\in X_n$ 为其基点，则传播子 $$\mathcal K(x_f, x_i; t_f, t_i) = \sum_{\alpha\in \pi_1(X_n, x_0)} \chi(\alpha) \mathcal K(\alpha),$$  并且， $\chi(\alpha)$ 是群 $\pi_1(X_n, x_0)$ 的一个群表示。

这个定理包含两方面的加强。第一，从 $x_i$ 到 $x_f$ 的同伦类的集合 $\pi(X_n, x_i, x_f)$ 被加强为处于某一固定点 $x_0\in X_n$ 的同伦群 $\pi_1(X_n, x_0)$。 同伦群中的元素都是环路。为了看出同伦群与原集合的等价性，我们可以首先任取从 $x_0$ 到 $x_i$ 的路径 $\xi$，以及 从$x_f$ 到 $x_0$ 的道路 $\zeta$。 对于任意一种同伦类 $\forall \alpha \in \pi(X_n, x_i, x_f)$, 同伦群中总存在一个元素与之对应 $\gamma \circ \alpha \circ \zeta \in \pi_1(X_n, x_0)$，如图六所示。

图六：$x_0$ 处同伦群 $\pi_1$ 与从 $x_i$ 到 $x_f$ 的同伦集合 $\pi(X_n, x_i, x_f)$ 的对应性。

同伦群的群结构，带来第二处加强： 权重因子 $\chi$ 需要与同伦群相容，即作为同伦群的表示。 为了理解这一点，我们首先注意到 $\forall t_2: t_1 \le t_2 \le t_3$，传播子满足 $$\mathcal K(x_3, x_1; t_3, t_1) = \int \mathrm dx_2\, \mathcal K(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K(x_2, x_1; t_2, t_1),$$ 代入拓扑分解，得到 $$\sum_{\gamma\in\pi_{31}} \chi(\gamma) K(\gamma) = \sum_{\alpha\in\pi_{21}} \sum_{\beta\in\pi_{32}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \int \mathrm dx_2 \, \mathcal K_{\beta}(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K_{\alpha}(x_2, x_1; t_2, t_1),$$ 注意作为同伦类 $\alpha$, $\beta$ 并不依赖于 $x_2$。易知，任何一条从 $x_1$ 到 $x_3$ 的路径，都可以分解为一条从 $x_1$ 到 $x_2$ 的路径与一条从 $x_2$ 到 $x_3$ 的路径。因此 $$\int \mathrm dx_2 \, \mathcal K_{\beta}(x_3, x_2; t_3, t_2) \mathcal  K_{\alpha}(x_2, x_1; t_2, t_1) = \mathcal K_{\beta\circ\alpha}(x_3, x_1; t_3, t_1) \equiv \mathcal K_{\alpha,\beta}(\beta\circ\alpha).$$ 当然这并不是全部 $\beta\circ\alpha$ 类的路径积分，因为不同 $\alpha, \beta$ 的组合可能得到相同的拓扑。 故此， $$\sum_{\gamma\in\pi_{31}} \chi(\gamma) K(\gamma) = \sum_{\alpha\in\pi_{21}} \sum_{\beta\in\pi_{32}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \mathcal K_{\alpha,\beta}(\beta\circ\alpha) = \sum_{\beta\circ\alpha \in\pi_{31}} \chi(\alpha) \chi(\beta) \sum_{r=1}^\infty \mathcal K^{(r)}(\beta\circ\alpha).$$ 因此，$\chi(\beta\circ\alpha) = \chi(\beta)\chi(\alpha)$。这表明$\chi$ 是同伦群 $\pi_1(X_n, x_0)$ 的一个表示。

根据这个结果，全同粒子统计性质与其构型空间拓扑性质密切相关。利用几何方法我们可以知道，在 d+1 维，n粒子构型空间 $$\pi_1(X_n, x_0) = \left\{ \begin{array}{ll} B_n, \quad & d = 2, \\ S_n, \quad & d \ge 2 \end{array}\right.$$ 其中 $S_n$ 是n阶置换群又叫对称群；$B_n$ 是所谓的辫群，又叫Artin群。

让我们来首先考虑 3+1 维以及以上维度。 构型空间的基本群为 $S_n$ 意味着， 不同的拓扑类仅仅来源于粒子的置换。例如，双粒子体系的辫子仅有两种拓扑结构，其他貌似复杂的辫子都可以通过连续变形变为这种结构中的一种。这也是为什么电子穆勒散射的过程中只需要考虑两种费曼图。从这个意义上讲，3+1维的粒子全同粒子是简单的。

图七：3+1维双粒子体系的辫子。

置换群 $S_n$ 仅有两个一维表示，分别是（1）平庸表示：$\forall \sigma\in S_n, \chi(\sigma) = 1$；（2）迹表示：$\forall \sigma\in S_n, \chi(\sigma) = \mathrm{sgn}(\sigma)$。 这两种表示显然分别对应玻色子和费米子。 当然， 置换群还存在高维表示，这些表示对应的权重因子已经不再是实数，当然，每一种拓扑结构的振幅也不再是实数。 我们可以将路径积分推广以接受这些表示的存在，这些高维表示对应的统计性质叫做“准统计”。 然而 Doplicher 1971 等人证明，这些准统计态一定可以分解为费米子与玻色子的直积再加上额外的量子数。 因此再 3+1 以及以上维度，费米子与玻色子已经足够。

辫群定义为， $$B_n=\langle\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}\mid\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1},\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i\rangle,$$ 显然，$n>1$ 时，$B_n$ 是无穷阶的。其中 $B_2 \approx \mathbb Z$是阿贝尔群，而 $B_3$ 是非阿贝尔群。而上面的定义提供了一个几何表示（图八－十）。

图八：辫群生成元的辫子表示。

图九：注意，向不同方向编得到的辫子是不同的。

图十：生成元的乘法。

图十一：杨－巴克斯特方程。

至于辫群的线性表示是很复杂的，人们知道的也不太多。由于辫群复杂性，2+1 维的粒子显然存在非常丰富统计性质， 这些粒子被称为任意子。

在 1+1 维上，粒子是不可以交换的，因此不存在交换意义上的全同粒子。





［待续未完］

谁点的费米子？（二）

二次量子化

考虑n个不同的自由粒子，其哈密顿量 $H$ 为 各个粒子哈密顿量 $H_i, ([H_i, H_j] = 0)$ 的叠加，因此n-体波函数为单粒子波函数的张量积（直积） $$\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \psi_1(a_1)\psi_2(a_2) \cdots \psi_n(a_n).$$ 数学上，记单粒子波函数的希尔伯特空间为 $V$, 其张量积记为 $V^{\otimes n} = \otimes_i^n V_i$，$T(V) = \oplus_n V^{\otimes n}\; (V^{\otimes 0} \simeq \mathbb C)$ 叫做张量代数。类似地，由n个自由玻色子或费米子构成的体系，其波函数也可以视为单粒子波函数的直积。但由于全同粒子体系需要满足置换关系，n-体的波函数是粒子希尔伯特空间张量积的一个对称（玻色子）或反对称（费米子）子集。显然该对称或反对称子集也构成希尔伯特空间，分别称作单粒子希尔伯特空间的对称积和反对称积，分别记为 $\mathrm{Sym}^n(V)$ 和 $\bigwedge^n(V)$，$\mathrm{Sym}(V) = \oplus_n \mathrm{Sym}^n(V)$ 叫做对称代数，$\bigwedge(V) = \oplus_n \bigwedge^n(V)$ 叫做反对称代数或外代数。在物理上，张量代数叫做福克空间。玻色子福克空间的一个波函数形如， $$\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \sqrt{\frac{|G_A|}{n!}}\sum_{\sigma\in S_n/G_A} \psi_1(a_{\sigma(1)})\psi_2(a_{\sigma(2)}) \cdots \psi_n(a_{\sigma(n)}).$$ 这里，$A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}$ 为单粒子量子数的集合，$G_A$ 是 $A$ 的稳定子群，$G_A = \{ \sigma \in S_n | (a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, \cdots, a_{\sigma(n)}) = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$，$G_A$ 中的置换仅会带来重复，而不会带来新的态，因此需要扣除。例如所有量子数都相同的情形 $a_1 = a_2 = \cdots a_n$，显然任何置换不改变量子态的序列，因此 $G_A = S_n$。由于波函数已经是对称的了，显然不需要任何置换 —— 这与 $S_n/G_A = I$ 是相符合的。因子 $\sqrt{\frac{|G_A|}{n!}}$ 是为了归一化。费米子福克空间的一个波函数形如， $$\psi(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)~ \psi_1(a_{\sigma(1)})\psi_2(a_{\sigma(2)}) \cdots \psi_n(a_{\sigma(n)}) \\  = \begin{vmatrix} \psi_1(a_1) & \psi_1(a_2) & \cdots &\psi_1(a_n) \\ \psi_2(a_1) & \psi_2(a_2) & \cdots &\psi_2(a_n) \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \psi_n(a_1) & \psi_n(a_2) & \cdots &\psi_n(a_n) \end{vmatrix}$$ 称作斯莱特行列式。

用直积直接处理多粒子态，尤其是全同粒子态，显然是不方便的。为了方便期间，我们引入所谓的粒子数记号。假定多体直积态 $\psi$ 中分别含有 $n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots$ 个量子数为 $a_1, a_2, \cdots, a_k, \cdots$ ($a_i \ne a_j$ 若 $i\ne j$) 的单粒子态，则记该态为 $| n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle$（若某一量子态 $a_i$ 不存在，则 $n_i = 0$）。这样可以统一的处理不同粒子数目的全同粒子态。进一步引入能够改变粒子数目的算符，这样的算符叫做二次量子化算符。 在量子力学中，不能改变粒子数的算符叫做一次量子化算符，例如非相对论单粒子量子力学中的算符。二次量子化算符将单粒子的希尔伯特空间扩张到多粒子希尔伯特空间（福克空间）。最简单的二次量子化算符为产生算符 $\alpha^\dagger_i$ 和消灭算符 $\alpha_i$，其分别在多体态上产生和消灭一个粒子 $$\begin{split} & \alpha^\dagger_k | n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle = \sqrt{n_k+1}~| n_1, n_2, \cdots, n_k+1, \cdots \rangle, \\ & \alpha_k | n_1, n_2, \cdots, n_k, \cdots \rangle = \sqrt{n_k}~| n_1, n_2, \cdots, n_k-1, \cdots \rangle \end{split}$$ 由于粒子数不能为负数，$\alpha_k~| n_1, n_2, \cdots, n_k＝0, \cdots \rangle = 0$。容易证明，玻色子的产生消灭算符满足对易关系 $$[\alpha_a, \alpha_b] = 0, [\alpha_a, \alpha^\dagger_b] = \delta_{ab}, \quad ([A, B] = AB-BA)$$ 而费米子的产生消灭算符满足反对易关系 $$\{\alpha_a, \alpha_b\} = 0, \{\alpha_a, \alpha^\dagger_b\} = \delta_{ab}, \quad (\{A, B\} = AB+BA)$$ 这是非常重要的关系，由此全同粒子的置换性质（又叫统计性质）等价与产生消灭算符的对易或反对易关系。

产生、消灭算符并不约束粒子个数的上限。当然，粒子的个数取决与哈密顿量。 为了描写基本粒子或准粒子的反应，常常需要能够改变粒子数目的哈密顿量，这样以来系统可能的粒子数将会从零个到无穷多个。 这正是前面提到的张量代数与其子代数 —— 对称和反对称代数。

由产生消灭算符还可以构造一类更加重要的二次量子化算符，场算符。 顾名思义，场算符包含有时空分布的信息，因此特别适用于考察时空性质（如时间演化、时空关联、洛伦兹对称性、规范对称性等）。 自由粒子的场算符可以用产生消灭算符表示为 $$\hat\varphi(\vec x) = \sum_a \psi_a(\vec x) \alpha_a, \quad \hat\varphi^\dagger(\vec x) = \sum_a  \psi^*_a(\vec x) \alpha_a^\dagger$$ 其中 $\psi_a(\vec x) \equiv \langle \vec x | a\rangle$ 称作波包，平面波 $\psi_\vec{k}(\vec x) = \mathscr N e^{i \vec k \cdot \vec x}$、高斯波包 $\psi_a(\vec x) = \mathscr N e^{-\frac{\vec x^2}{4a^2}}$  是两类常用的波包。 $\hat\varphi^\dagger(\vec x)|0\rangle = | \vec x \rangle$ 在 $\vec x$ 产生一个量子态， 而 $\psi_a(\vec x) = \langle 0 | \hat\varphi(\vec x) \alpha_a^\dagger | 0 \rangle$ 是波包。 双粒子的波包 $\langle \vec x,\vec y| a,b \rangle = \langle 0 | \hat\varphi(\vec x)\hat\varphi(\vec y) \alpha^\dagger_a \alpha^\dagger_b | 0\rangle = \psi_a(\vec x) \psi_b(\vec y) \pm \psi_a(\vec y)\psi_b(\vec x)$ 则满足全同粒子波函数的置换关系。 我们可以转入海森堡表象， 即定义 $\varphi(x) = e^{iHt}\hat\varphi(\vec x) e^{-iHt}$， 现在时间和空间被放在了同等地位，$\varphi(x)$ 叫做量子场。 量子场可以很方便的表示出洛伦兹对称性来，因此可以作为场论中基本的物理对象。







［待续未完］

谁点的费米子？（一）

全同粒子与统计性质

相比与宏观世界的千千万万，微观世界则要简单的多：同种粒子都是不可分辨的。 譬如，世界上所有的电子本质上都是一样的。 我们把同种粒子叫做“全同粒子” —— 实际上，不可分辨粒子的量子数（如坐标位置、动量、能量等）仍然可能是不同的，甚至在內秉自由度比较小的情况下复合粒子（如质子）也呈现出不可分辨性。 因此微观粒子的不可分辨性最好能用一个更具操作性的定义来表述。

首先考虑两个粒子的情况。双粒子的不可分辨性定义为，两个自由粒子在对换位置以后整体量子态与之前相同。 用数学表达式可以写成 $$\psi(a, b) = \psi(b, a),$$ 这里 $\psi(a, b)$ 代表双粒子波函数（态矢量），其中 $a, b$ 是用来标记单粒子态的量子数。 根据量子力学，一个波函数与它乘上任意复数以后得到的波函数表示同一个量子态。 为了数学上的方便，人们使用归一的波函数，即$|\psi(a,b)|=|\psi(b,a)|=1$。 因此上面的表达式应当写成 $$\psi(a, b) = e^{i\delta}\psi(b, a), \quad (\delta \in \mathbb R)$$ 这里 $e^{i\delta}$ 是个单位相因子，一般来说它可能依赖于粒子的量子数乃至对换方法等。 满足 $\delta = 0$ 的粒子显然是最简单的一类全同粒子，这类粒子叫做玻色子。 光子、胶子、W、Z都是玻色子，希戈斯粒子也是玻色子，复合粒子中氦-IV也表现为玻色子。 满足 $\delta = \pi$ 或 $e^{i\delta} = -1$ 的粒子是另一类全同粒子， 叫做费米子。 电子是费米子，复合粒子中的质子、中子等都是费米子，氦-III则表现为费米子。 费米子有个独特的性质，叫做“泡利不相容原理”，曰：两个费米子不能占据完全相同的量子数。 这是因为，根据全同粒子的定义若两个费米子的量子数完全相同，则 $\psi(a, a) = -\psi(a, a)$，其结果是粒子整体的波函数只能为零 $\psi(a, a) = 0$。

那么是否还有其他种类的粒子呢，譬如 $\delta = \pi/2$ 或 $e^{i\delta} = i$ ？ 若假定 $\delta$ 与粒子对换的具体方式无关， 便没有其他种类的粒子了。 这是因为，对换两次以后，双粒子体系到原先的量子态， $$\psi(a, b) = e^{i\delta} \psi(b, a) = e^{i2\delta}\psi(a,b),$$ 因此 $e^{i2\delta} = 1$，令 $C = e^{i\delta}$ 则 $C^2 = 1$，显然 $e^{i\delta} = C = \pm 1$。因此在相位与粒子对换方式无关的情况下，费米子和玻色子已经涵盖了所有的可能。

上面关于双粒子体系的不可分辨性还可以推广到多粒子体系。 这时候我们需要考虑所有的粒子置换。 譬如在仨粒子体系中， 对于粒子 $(a, b, c)$ 一共有五种置换方式，按照结果列举为：$(a, c, b)$, $(b, a, c)$, $(b, c, a)$, $(c, a, b)$, $(c, b, a)$。 对于一个n粒子体系， 不同的置换方式一共有(n!-1)种，再加上不置换（单位元），构成一个“群”即置换群，记为$S_n$。 显然，多粒子体系的不可分辨性需要考虑所有置换群群元作用下的结果。 首先引入一些记号： 将n个粒子的量子数记为 $q=(a_1, a_2, \cdots a_n)$。 对于每一个置换操作 $\sigma \in S_n$， 置换以后的粒子的量子数记为 $\sigma q$。 类比于双粒子体系，我们可将n个自由粒子体系中的粒子不可分辨性定义为，置换前后的波函数仅差一个依赖于置换操作的相位，即： $$\forall \sigma \in S_n, \quad \psi(q) = e^{i\delta(\sigma)} \psi(\sigma q), \quad (\delta(\sigma) \in \mathbb R)$$ 但某一个置换可以通过多个其他的置换复合得到。 假如置换后的相位与粒子置换的具体方式无关，那么相因子应当满足， $$\forall \sigma, \rho \in S_n, \quad e^{i\delta(\sigma\rho)} = e^{i\delta(\sigma)+i\delta(\rho)}.$$ 另外，对于单位元 $e$， 相因子应当为一，或 $\delta(e) = 0$。 当相因子满足这些条件时， 称其为置换群的一个一维群表示。 上面已经说过对于两粒子体系仅有两种相因子，即两个一维表示。 这个结论对于一般置换群 $S_n$ 仍然成立： $S_n$ 仅有两个一维表示，要么 $\forall \sigma \in S_n, e^{i\delta(\sigma)} \equiv 1$； 要么 $\forall \sigma \in S_n, e^{i\delta(\sigma)} = \mathrm{sgn}(\sigma)$， 其中 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ 表示置换 $\sigma$ 的“迹”又叫“奇性”：当置换可以表示为奇数个两两对换时其迹为-1，否则为+1。 显然第一种表示对应的是玻色子；第二种表示对应的是费米子。 n粒子中的任意两个费米子都满足“泡利不相容原理”。

全同粒子的置换性质直接影响着其在正则系综中的统计分布。 在经典统计物理中，由大量（$\sim N_A$）近自由粒子组成的温度为 $T$ 的正则系综，在达到热平衡时，粒子按照玻尔兹曼分布 $$\langle N_i \rangle = g_i e^{-\beta (\varepsilon_i - \mu)},$$ 其中$\langle N_i \rangle$ 是平均粒子数， $\varepsilon_i$ 为在能级 $i$ 的能量， $\beta = \frac{1}{k_BT}$ 为倒易温度， $\mu$ 为化学势，$g_i$ 为能级 $i$ 的简并度。玻尔兹曼分布仅适用于经典可分辨粒子。当粒子之间的波函数开始有较大重叠时（德布洛意波波长达到粒子间距），全同粒子的交换性开始起作用，需要使用所谓的“全同分布”。 近自由的费米子满足“费米-狄拉克”分布  $$\langle N_i \rangle = \frac{g_i}{e^{\beta (\varepsilon_i - \mu)} + 1};$$ 而玻色子则满足“玻色-爱因斯坦”分布   $$\langle N_i \rangle = \frac{g_i}{e^{\beta (\varepsilon_i - \mu)} - 1}.$$ 由于这个原因，全同粒子的置换性质一般被称为粒子的统计性质。

自旋-统计定理

路径积分

贰加壹维，(2+1)d

超对称

电子的大小

电子有多大呢？ —— 或许应该问，电子有多小呢？电子的静止质量为 0.511 MeV/$c^2$, 换算成公制约合 $9\times 10^{-31}$ kg. 那么电子的尺寸有多大呢？这个问题却很难回答。当今最精密的实验确定电子的半径小于$10^{-22} \mathrm{m}$。

在经典物理中，人们曾设想电子的的质量全部来自电磁能，据此电子的半径应为 $$r_c = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 c^2} \simeq 1.4 \times 10^{-15} \mathrm{m}.$$ 这就是所谓的电子的经典半径，这里已经假定电子的全部电荷分布在球面上。但是电子不光有电荷，还有所谓的自旋磁矩，约为$\frac{\hbar e}{2m_e}$. 再次按照经典的观点，它是由电子自旋引起来的。若假定电子电荷分布与质量分布相同 $\vec\mu = -g\frac{e}{2m_e}\vec{L}$, 这里$\vec{L}$是角动量, 其大小应为$\frac{1}{2}\hbar$，$g$为所谓约化旋磁比，大小为2. 根据这个条件，电子的半径$r$与其自旋角动量$\omega$应当满足$\frac{1}{2}\hbar = \frac{2}{3} m\omega r^2$. 若代入所谓的经典半径$r \to r_c$, 可算出电子“表面速度”$\omega r = \frac{3}{4} \frac{\hbar}{m_e r_c} \simeq 200c$, 约为光速200多倍。这显然违悖了相对论的原则。这是电子经典半径的反对论据。

其实以上论据本身就有些问题。比如既然电子有高速的自旋，其自旋能量自然应当对总质量有贡献。我们可以讲电子静止质量$m_e$拆分成三部分，电磁能量E，真正的静止质量m和自旋动能T。这样以来同时满足能量关系和角动量关系，并且电子表面速度小于光速是有可能的。为了方便起见，引入以下参数：$\xi = \frac{m}{m_e}$, $\beta = \frac{\omega r}{c}$, 这两个量都应当在0与1之间。$\lambda_e = \frac{h}{m_e c}$为电子的康普顿波长，$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} = \frac{\lambda_e}{4\pi r_c}$ 为精细结构常数。电子质量和角动量关系分别给出： $$m_e c^2 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} + m c^2 \frac{1}{2\beta}\log\frac{1+\beta}{1-\beta} \\ \frac{1}{2}\hbar = \frac{2}{3} m \omega r^2$$ 由此可以得到：$\xi = \frac{2}{\frac{4}{3}\alpha \beta + \frac{1}{\beta}\log\frac{1+\beta}{1-\beta}}$, $\frac{r}{r_c} = 1 + \frac{3}{4}\frac{1}{\alpha\beta^2}\log\frac{1+\beta}{1-\beta}$. 这两个量都是$\beta = \frac{\omega r}{c}$的函数。根据下图，当$0 < \beta < 1$ 时显然 $0 < \xi < 1$ 是合乎要求的。电子半径 $r$ 在$\beta$取0.796时取到最小值，为$r = 354 r_c \simeq 5\times 10^{-29} \mathrm{m}$。此时电子真正的静止质量与总静止质量之比为$\xi = \frac{m}{m_e} \simeq 0.73$.

 

粒子物理中，电子是所谓的基本粒子，即它是“原料”——标准模型的一部分，标准模型无从得知，其又不具有自我预言性，电子结构便无从而知。并且即使最强大的对撞机也不曾粉碎电子或探知电子的内部结构，粒子物理学家只好将其视为点粒子。

事实上，量子场论作为一个多体理论，已经模糊了单粒子和多粒子的界限。电子周围由于电磁相互作用对真空的影响，不断产生和湮灭着光子和虚正负电子对，广义的讲这些可以被视为电子结构的一部分。据此可以计算电子的均方根电荷半径（rms charge radius）。量子电动力学的结果是： $$r_\mathrm{rms}^2 = \frac{\hbar^2}{m^2_ec^2} \frac{\alpha}{\pi} \left[\log{m^2_e}/{m_\gamma^2} - \frac{23}{20} \right]$$ 其中$\frac{\hbar}{m_e}$等于电子的约化康普顿半径，$m_\gamma$为光子的质量，这实际上是一个红外正规子(Infra-Red Regulator) 。当光子质量取零时（这正是物理世界的情形），电子的均方根半径变得无穷大。这实际上不奇怪。均方根电荷半径与相互作用的半径相关，库仑力作为长程相互作用，其作用半径自然是无穷大的。

核中的电子

在量子力学发明以前，人们根据经典场论得出原子中的电子会在加速运动中损失能量，从而很快落入原子核中。这样以来的原子显然是不稳定的。而现实生活中很多如果不是大部分原子都是稳定的。为了解决这个问题，玻尔提出了如今被称为旧量子论的氢原子模型，他认为原子中的电子仅仅出现在一些特定能量状态叫做定态，改变能量时电子只能在定态之间跃迁。这样的以来，电子运动被“禁止”落入原子核中。很显然旧量子论解决原子稳定性的方法显得很粗暴，也未能直接回答电子为什么不能落入原子核。

当然，旧量子论早已被更完善的量子力学代替。但是由于种种原因，玻尔模型的遗产仍然延续到今日，特别是高中物理、大学物理甚至近代物理的原子论常常拿来旧量子论来介绍。这很容易给人以错误的印象。因此检视量子力学对这个问题的解释是有意义的。

图：（黑色曲线）氢原子的基态电子概率密度作为径向距离的函数$|\Psi(r)|^2$，$a_0$ 是玻尔半径5.3 $\times 10^{-11}$米。（红色曲线）单位迳向距离的能量$\varepsilon(r)$，其积分E为氢原子基态电子能量$-13.6$eV。

量子力学认为电子是可以落入原子核的。根据氢原子薛定谔方程的基态解(见图)，电子与原子核处（$r=0$）的概率密度不为0 —— 换句话说，电子是会落入原子核的 —— 事实上根据上图，电子处在原子核处的概率密度最大。以原子核半径$10^{-15}$米计算，电子处在原子核内的概率约为$10^{-13}$.

库仑势$V(r) = -\frac{ ke^2}{r}$在$r=0$处发散, 但电子在此处的能量为$|\Psi(r)|^2 4\pi r^2 \Delta r \cdot V(r)$,($r \to 0$) 趋近于0（图中红色曲线）。并且实际上原子核不是一个点粒子，它具有一定的电荷分布，在原子核内部点电荷的库仑势需要修正。总之电子落向原子核不会引起无穷大的能量。

那么现在有一个问题，电子在原子核处时会发生什么事情。特别是电子与原子核电性相反会不会发生“湮灭”？先讨论一种简单的类氢原子——“电子偶素”（positronium），由电子-正电子组成，换句话说，它的“原子核”是一个正电子。当电子与该“核”距离为零时，正电子有一定的概率与之湮灭，生成若干光子: $$e^- + e^+ \to \underbrace{\gamma + \gamma + \cdots \gamma}_{\text{偶数个光子} (2n\gamma)}.$$ 于是, 电子偶素有一定的概率“衰变”成光子，这也说明电子确实可以落进“核”里。

当然在真正的氢原子中，原子核是质子。质子不能跟电子湮灭生成若光子，这是因为除了电荷守恒以外，任何反应还需要同时满足輕子數守恒、重子数守恒和能量守恒。电子是輕子，轻子数为1重子数为0，正电子也是轻子，轻子数为-1，重子数为0。质子是是重子，轻子数为0，重子数为1。光子既不是轻子也不是重子，其轻、重子数都为0。例如正负电子湮灭：

$e^- + e^+ \to 2n \gamma$ 电荷：-1 + 1 = 0；轻子数：+1 + (-1) = 0; 重子数：0 + 0 = 0.

若换成质子－电子湮灭：

$e^- + p^+ \to 2n\gamma$ 电荷：-1 + 1 = 0; 轻子数：1 + 0 $\ne$ 0; 重子数：0 + 1 $\ne$ 0.

因此质子与电子发生反应需要生成重子数不为零的粒子，这样的粒子叫做强子（例如质子、中子、各种介子）。这些反应中，质子的电子俘获：$p^+ + e^- \to n + \nu_e$，是比较重要的一个。不过在所有重子中，质子是最轻的。根据能量守恒和爱因斯坦的质能关系$\Delta E = \Delta mc^2$，要反应生成任何其他重子都需要额外的能量（比如自由中子$n$比自由质子$p^+$重1.3 兆電子伏特，再考虑到电子质量0.5兆電子伏特，仍需～1兆電子伏特的能量才能发生反应）。原子中电子在不同“轨道”（定态）转移所放出的能量（这些就是所谓的化学能）在電子伏特量级不足以引发电子俘获等反应生成其他重子，因此氢原子是稳定的。不过在一些比较重的原子中，原子核的束缚能可以为这个反应提供能量。原子核的束缚能恰好在兆电子伏特的量级。这可以理解为在有些原子核中，中子的质量可能会比其他原子核中的质子质量小。发生电子俘获以后原子核一般会裂变成更稳定的核。

在一些更高级的理论中（超对称、额外维度、强弱电大统一理论、量子引力等），重子数守恒、轻子数守恒是可以被违反的。例如有些理论允许氢原子中的电子与质子发生反应生成一大堆中微子，中微子的静止质量几乎为0，因此反应能量是足够的。但其反应截面（发生反应的概率）非常之小。相同的理论同时预言质子会发生衰变 —— 至今尚未观察到，说明即使这些理论成立，在寻常能标下，其发生的概率也是非常非常小的。这些理论的意义在于在非常高的能量下，这些反应发生的概率可能会比较大。这些反应在宇宙中高能量事例里可能会有较大的贡献。研究这些理论有助于解决当前天文学、物理学中的一些难题。物理学家们一直忙着在大型粒子对撞机、高能宇宙射线中寻找这些反应的迹象。

使用PageRank对金庸武侠的功夫进行排名

金庸武侠人物功夫排名是互联网上的年经帖。这种排名首先是在同一本小说的武侠世界进行，然后又扩展到整个金庸武侠世界。各种版本排名依据不一，又带有很强的主观性，因而得出的结论往往引发极大的争议。

在理想状况下，所有侠客切磋过且能得到一个偏序关系。这时候得出的排名最没有争议。举例来说，在《笑傲江湖》里，左冷禅败给岳不群、令狐冲，岳不群败给令狐冲，令狐冲败给东方不败。如果仅考虑这四个人，其排名自然为：东方不败、令狐冲、岳不群、左冷禅。可是在一般武侠世界里，首先并不是所有人物之间都打斗过；其次比武时胜负也不一定能够构成一个偏序链。比如《笑傲江湖》几个主要高手之间切磋的结果大致为：

如何排列这些人物之间的功夫就成了问题。

关于这个问题，我们可以用PageRank等向心值算法来解决。其想法如下，一个人的功夫，可以由其他人的评价来进行估计。这个评价可以是比武，也可以是间接评价，比如任我行曾对风扬清有过很高的评价。如果甲败给乙，那么甲必然对乙的功夫有较好的评价。在甲乙打平的情况下，可以认为双方对彼此的功夫有好的评价。当然，从功夫好的人得到的好评要比从功夫差的人得到的好评要好。所以一个人$i$的功夫（用$p_i$来表示）: $$p_i = \alpha \cdot \sum_j A_{ji} f_j p_j + \beta_i, \quad \sum_i p_i = 1.$$ 这里，$\alpha$ 和 $\beta_i$ 是两个基于先验经验确定的值，$f_j$ 是一个关于评价者的函数，$A_{ji}$是该图的邻接矩阵或『评价矩阵』。根据这些『评价』种类的不同，我们可以赋予不同的权重。一般的胜负定为1，令狐、任、向三人围攻定为3，佩服、欣赏亦定为1，左冷禅击败任我行以后受伤严重，不能再战斗，可为0.9。在最简单的PageRank里，$f_i = 1/\max(1, d^{\text{out}}_i)$，换句话说，一个人被打败的次数越多，他对别人的评价贡献越小。在改进模型中$f_i$也可以换成其他合适的函数。

我们将这个想法应用于上面提到的《笑傲江湖》的排行问题。令$\alpha=0.85$, $\beta = (1-\alpha)/N$, 这里N为顶点个数。得到的风评分使用『权重』和不使用『权重』两种情况为：

第一种情况得到排名为：东方不败、任我行、令狐冲、方证、风清扬、左冷禅、岳不群、冲虚、向问天。 讨论：左冷禅的功夫高于岳不群是因为左冷禅曾战胜高手任我行。任我行排名比令狐冲高是因为他跟多个高手过过招。

第二种情况得到的排名为：任我行、令狐冲、东方不败、方证、风清扬、冲虚、左冷禅、岳不群、向问天。讨论：任我行、令狐冲排名比东方不败靠前是因为他们参与的决斗比较多，而在这里东方不败的名声主要来源于她与三大高手的决斗。假如不将此赋予较高权重的话，东方不败无法鹤立鸡群。这也显示了权重的重要性。

当然所有的参数可以根据读者的经验调节，从而得到一个合适的排名。为了得到合适的排名，也需要深度挖掘其他次要人物的贡献。由于很多出场人物并没有比较得到过评价，这时候他们先验的江湖名声就变得重要起来。进一步地，如果能找到一些连结各个金庸武侠小说的人物（比如少林寺、丐帮、武当派等），这个办法也可以用来做金庸武侠世界的综合排名。

参考：
cf. Liyun: 十八般武艺，谁主天下。写成此文后，搜到这篇文章用PR来给金庸小说中的武器打分。

帝国寿命之统计

帝国是支配多个民族的君主制国家。帝国象征着文明和荣耀，也代表了压迫和杀戮。一个帝国通常能存在多久呢？根据Wikipedia的这个帝国列表，我们可以做个统计。

开始之前，先说说帝国的寿命如何定义。一个帝国的寿命自然要通过它的开始和结束的时间来定义的。一般来说，帝国以称帝、建元作为起始。譬如唐帝国一般是以李渊618年称帝（武德元年）为始的，尽管当时李渊集团尚未统一中原。再比如罗马帝国，一般是以前27年屋大维称帝（奥古斯都）作为开始的，尽管罗马帝国一直延续着罗马共和国的统治，甚至国号（元老院与罗马人民）都未改变。帝国的灭亡则要更复杂些，也充满争议。国家灭亡可以分为三类，逊位（主动或被动），不再具有合法的帝国统治，中文又叫革命；灭国，国家的主要城市被攻灭；绝祀，统治家族灭亡。三者同时发生时，帝国覆亡比较容易确定，例如拜占庭帝国是以1423年君士坦丁堡的陷落作为结束。有时候，国灭后仍然存在残余政权。比如，靖康之变宋政权灭亡以后由皇子赵构建立了南宋政权。再如，明灭亡以后由皇子朱由崧建立了南明政权。甚至在南明灭亡以后，郑氏还建立了奉明祀的台湾明郑政权。在这种情况下，帝国结束的时间就要按照约定俗称。前例的南宋大多数人认为是宋的延续,宋亡定在南宋灭亡。而南明或明郑则不被认为是明帝国的延续了。

我们首先将这个列表按照帝国寿命排列画出来。据称存在时间最长和次长的帝国是两个泰米尔帝国，潘地亚王朝和注辇国，据称分别存在了1850年和1629年。其他存在时间在千年以上的帝国包括：广义的罗马帝国，从屋大维称帝开始到东罗马帝国（拜占庭帝国）灭亡结束，共计1480年。拜占庭帝国本身，1123年。渤泥（文莱），1288年。

图一：帝国寿命列表。

根据以上数据，帝国的平均寿命约 268 年。其中约三成的帝国存在不过百年，三成的帝国能熬过三百年。不同数据给出的平均值均在250年左右。

我们可以按照地区划分，比较不同地区帝国的平均寿命。中原王朝的平均寿命约为167年，算是其中比较短的。

图二：不同地区帝国平均寿命。

图三：不同地区帝国按照寿命分布。

寿命分布可以用指数分布拟合。指数分布的一个重要特征是无记忆性，换句话说，帝国的失败率近似恒定。这似乎表明，古代王朝衰落有一个或一些普适的、非人力可决定的内在因素。可能的因素包括经济结构、气候、社会组织结构、政治体制、红桃皇后效应、随机灾难等。

图四：帝国寿命分布，该分布可以由指数分布拟合。

图五：指数分布拟合的统计检验。