微观粒子的电磁形状（之一）

众所周知，电子带一个单位的“电子电荷”（记作e）。  因此如果将一个电子放在电磁场中，电子会感受到洛伦兹力 $\vec f = -e \vec E - e \vec v \times \vec B$。 假如电磁场有梯度，电子还可能会感受到一个梯度磁力 $\vec f' = -(\vec \mu \cdot \nabla) \vec B$。这个力的来源是电子自旋$\vec s$引起的电子磁矩 $\vec\mu = -g \frac{e}{2m_e} \vec s$，这里 $g \approx 2 + {\alpha}/{\pi} + ...$。

斯特恩－格拉赫实验利用了银原子在磁场梯度中偏折的特性。银原子的磁矩来自于它的壳层电子。银原子整体为中性，因此屏蔽了洛伦兹力的影响。

多极矩

对于一个比较复杂的体系，根据经典电磁学，其受到的电磁力与它的电荷、磁荷（电流）分布有关。 例如，在纯粹的静电场 $\varphi(\vec r)$ 中，一个体系的静电能（不考虑自能）为， $$e U = \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') \varphi(\vec r')。$$ 求静电力只要对上述静电能求导即可 $\vec f = -e\nabla U$。假定$\vec r$是体系的“电荷中心”，且体系是有界的，那么上面的表达式可以展开作： $$\begin{split} e U =& \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') e^{(\vec r'-\vec r)\cdot\nabla} \varphi(\vec r) =  \int \mathrm{d}^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) e^{\vec \xi\cdot\nabla} \varphi(\vec r) \\  =&  \int \mathrm{d}^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) (1 + \vec \xi \cdot \nabla + \frac{1}{2} \xi^i\xi^j\nabla^i\nabla^j + \cdots) \varphi(\vec r) \\  =& q \varphi(\vec r) + \vec p \cdot \nabla \varphi(\vec r) +  \mathbf{Q}\cdot \nabla \nabla \varphi(\vec r) + \cdots \end{split}$$ 这里，我们将电荷密度重新作了定义 $\varrho(\vec \xi) \triangleq \rho(\vec r + \vec \xi)$，将坐标中心移到了电荷中心。第二行是个泰勒展开，这里的积分仅与体系的电荷分布有关，因此可以作为衡量体系电磁形状的物理参量：即电荷 $q$、电极矩 $\vec p$、电四极矩 $\mathbf{Q}$ 等等，这些量叫做电多极矩。类似地，我们可以定义磁多极矩。

多极矩不但与体系所受的电磁力有关，还与体系产生的电磁场（电磁辐射）有关。 例如，带电体系产生的库论场为， $$\varphi(\vec r) = \int \mathrm d^3 r' \, \frac{\varrho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|} = \int \mathrm d^3 \xi \, \varrho(\vec \xi) e^{\vec \xi\cdot\nabla} \frac{1}{r}.$$ 电磁多极矩是一系列所谓的“模型无关”非微扰物理量。它们可以通过实验测量得到，也可以通过唯象模型的计算得到。有了它们，我们可以很容易地勾勒出体系的电磁性质来。它们的另外一个重要特点是，一般体系的高阶电磁极矩收敛很快。

球多极矩

当然，电磁极矩做泰勒展开时很快就会变得非常复杂难以处理。这主要是我们没有充分利用体系的对称性。泊松方程和赫姆霍兹方程包含角动量平方算符： $$\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \Big( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \Big) + \frac{1}{r^2}\vec \ell^2$$ 这里， $$\vec \ell^2 = {1 \over \sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial \over \partial \theta}\right) + {1 \over \sin^2\theta}{\partial^2 \over \partial \phi^2}.$$ 因此，可以利用其本征函数——球谐函数展开其解。例如， $$\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}= \sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{4\pi}{2\ell+1} \frac{r_<^\ell}{r_>^{\ell+1}} Y_{\ell m}(\theta, \phi) Y^*_{\ell m}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})$$ 此处，$r_> = \max\{|\vec r|, |\vec r'|\}$, $r_> = \min\{|\vec r|, |\vec r'|\}$。这样以来，体系产生的静电场（远场 $r \gg R$）可以表示为， $$\varphi(\vec r) = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{1}{r^{\ell+1}} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\sum_{m=-\ell}^\ell q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta,\phi) \\ q_{\ell m} \triangleq \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \int \mathrm{d}^3 r' \, \rho(\vec r') r'^\ell Y^*_{\ell m}(\theta', \phi')$$ 这里，$q_{\ell m}$一般被称为球多极矩。

球多极矩与笛卡尔多极矩密切相关，不过他们之间的具体转换表达式这里不再赘述。

微观粒子

微观粒子，从标准模型的基本粒子到强子（介子、重子）、原子核、原子到分子，是自然界中天然的带电粒子体系。 例如质子是由三个夸克构成的——两个上夸克、一个下夸克。 上夸克带2/3个单位的电子电荷，下夸克带-1/3个单位的电子电荷，凑起来恰好为一个单位电荷。 再如派介子由两个夸克构成，也带一个单位的电子电荷。 不过由于量子的波动性，这些电荷弥散在整个空间， 其电荷密度由波函数给出： $$\rho(\vec r) = \sum_i q_i \int \mathrm{d}^3 r'_1 \cdots \mathrm{d}^3 r'_n \, \delta^3(\vec r_i -\vec r) \, \big| \psi(\vec r_1, \vec r_2, \cdots \vec r_i, \cdots \vec r_n) \big|^2.$$ 当然，由于平移不变性，$n$个点粒子组成的带电体系仅需要$n-1$个变量来描述其波函数。最简单的微观束缚态是由两个粒子组成的体系，如介子。 其电荷密度简单地记为 $$\rho(\vec r) = \psi^*(\vec r)\psi(\vec r).$$ 前面的电磁多极矩的公式完全适用这里的量子体系。当然这里的讨论对基本粒子也适用，只不过点粒子的电荷密度是简单的： 例如电子电荷密度为$\rho(\vec r) = -e \delta^3(\vec r)$。

角动量

除了平移对称性外，微观粒子还具有转动对称性，因此带有一个守恒的角动量。与经典世界不同的是，量子世界的角动量是量子化的（这是量子叠加原理的直接体现）：其值为$\hbar$的整数倍或半整数倍。 一个粒子如果带有固定的角动量，则它处在角动量平方算符的本征态： $$\vec j^2 \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) = j(j+1) \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) \\ j_z \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n) = m_j \psi(\vec r_1,\cdots,\vec r_n).$$ 这里 $\vec j = \sum_i \vec\ell_i+\vec s_i$是多体角动量算符，即包含前面定义过的角动量，也包含组分粒子的自旋角动量。 现在先不考虑自旋，并且仅考虑两体体系（例如氢原子、电子偶素、粲夸克偶素等）。此时，$\vec j^2 = \vec \ell^2$，即是前面定义过的轨道角动量算符。则其本征函数即使所谓的球谐函数 $$\vec \ell^2 Y_{\ell m}(\hat r) = \ell(\ell+1) Y_{\ell m}(\hat r) \\ \ell_z Y_{\ell m}(\hat r) =m Y_{\ell m}(\hat r).$$ 换句话说，波函数可以写成， $$\psi(\vec r) = R_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\hat r).$$ 径向部分的波函数$R(r)$由两个组分粒子之间具体的相互作用决定，可以通过薛定谔方程解出来。现在考虑其球多极矩，即积分： $$\begin{split} q_{LM} =& \int \mathrm d^3 r' \, \rho(\vec r') r'^{L} Y_{LM}^*(\hat r') \\ =&  \int \mathrm dr' \,  r'^{L+2}\big| R_{\ell m}(r') \big|^2 \int \sin\theta' \mathrm d\theta' \mathrm d\phi' Y_{\ell m}^* (\theta', \phi') Y_{\ell m}(\theta', \phi') Y_{LM}^*(\theta', \phi'). \\ \end{split}$$ 其中角方向的积分可以用CG系数或维格纳3-j符号表示出来。其中$L,M$需要满足约束条件： $$M = 0, \quad 0\le L \le 2\ell, \quad {L = 0 \mod 2}$$ 前两个约束实际上是维格纳-因卡特定理的推论。这样一来，我们仅有$\ell+1$个电多极矩。再加上$\ell$个磁多极矩（不存在磁单极矩），我们现在得到了一个非常重要的结论：

自旋为 j 的体系，只有 2j+1 个独立的电磁多极矩。

当然，这个定理我们只是在一个非常特殊的体系得到的（两体体系、非相对论、没有自旋），但可以证明，这个结论对更一般的体系也是成立的。后面我们会进一步阐述它成立的条件。例如，电子的自旋为 1/2，其一共有 2 个电磁极矩。这正是我们开头提到的。



对应原理

相对论性量子理论 与 经典理论

经典电磁极矩

形状因子

模型无关非微扰物理

量子的胜利

真空不空

真空，在量子场论中定义为能量的基态，即 $$P_\mu |\Omega\rangle = 0$$ 从对称性上看，它是庞加莱群的一个平凡表示。但由于 $$[\varphi_r(x), P_\mu] = i\partial_\mu \varphi_r(x) \ne 0$$ ，真空一般不是量子场的本征，换句话说，真空存在量子场但不存在粒子 —— 因为粒子必然具有非零的能量和动量。这种吊诡的性质可类比为量子谐振子的“零点振动”，这是一种存粹的量子力学效应，根源于叠加原理。具体来说，粒子作为能量本征态与量子场是同一个物理实体（希尔伯特空间）的不同表象。因此，任意一个场构型可以视为无穷多粒子态的叠加。这样以来，真空可以被视为无穷多粒子的叠加，这种图像一般叫做真空涨落。而定义真空的本征方程，$H |\Omega\rangle = 0$亦可以用费曼图表示出来，

图一：对真空涨落有贡献典型费曼图。

从费曼图上可以看到，真空演化的过程中存在正反粒子的产生与湮灭。

比较历史：苏联与中国改革开放

Robert Strayer, “Decolonization, Democratization, and Communist Reform: The Soviet Collapse in Comparative Perspective,” Journal of World History 12, no. 2 (2001), 375–406.


作为世界上最大的两个社会主义国家，苏联和中国在历经几十年的发展之后遇到了经济、政治、文化和社会发展上的巨大挑战。类似的问题也发生在其他共产主义国家，并导致了八十年代末九十年代初的“东欧剧变” —— 东欧的共产主义国家纷纷转变为民主化的资本主义国家。面对这些挑战，苏共领导人戈尔巴乔夫与中共领导人邓小平不约而同地采取了改革的政策。邓小平的政策叫做改革开放，戈尔巴乔夫的政策叫做glasnost、perestroika，翻译过来同样为改革开放。其结果却大相径庭，戈尔巴乔夫的改革一般认为是失败的：苏共下台、苏联解体、冷战终结、俄联邦的建立和二十世纪最深刻的和平时期的大萧条的发生——伴随着人民生活水平跳水、国家影响力的降低、国家动荡不安。而邓小平的改革使得中国经济得以腾飞、人民生活水平大幅提高、国家地位上升和执政党垄断地位的保持 —— 尽管仍然存在很多挑战，包括党员干部的贪污腐化和国内政治民主化的压力。由此以来，比较苏联与中国改革开放的历史便成为一个相当有意义的话题。Strayer的文章便是从这一角度来探讨苏联解体的。当然，作者不仅比较了苏联改革与中国改革，还比较了苏联解体作为帝国解体与二十世纪其他帝国（哈布斯堡家族的奥匈帝国、奥斯曼帝国、沙俄帝国等）解体的历史过程以及苏联解体作为二十世纪末广泛的民主化进程与其他南欧、亚洲和拉丁美洲民主化过程的历史进程。这个读后感，仅仅涉及苏联与中国改革开放的比较历史部分。这一段叙述开始于原文389页。

作者首先探讨了中、苏两国面临的相似困境，或者说是相似的改革的动力。中、苏两国作为奉行列宁－斯大林主义的国家（显然，中国的制度是以苏联制度为样板建立起来的，尽管根据中国的实际情况添加了所谓毛主义的成分），在二战以来经历几十年地发展之后面临相似的问题：生产效率地下、相对周边资本主义国家贫困落后、经济结构失调——经济地位与军事政治地位不协调、供需不平衡。这些问题不像街头革命那样是迫切性的问题，尽管如此，在新一代领导人——（安德罗波夫）戈尔巴乔夫和邓小平眼中都是需要集中全力应付以免国家陷入中长期危机之中，而且他们的解决都不是临时性的，而是长期性的结构性调整。

作者进一步指出，在改革初期，邓小平和戈尔巴乔夫采取的措施都是很传统、很小心翼翼，随着改革的推进，两人都开始寻求队社会主义教条的改变或重新诠释 —— 戈尔巴乔夫诉诸列宁的新经济政策和“一切权力归苏维埃”（指苏维埃大会），而邓小平诉诸唯物哲学中的实践原理 —— “实践是检验真理的唯一标准”并用“社会主义初级阶段”来搪塞“社会主义市场经济”与计划经济的偏离。在具体举措上，两人都采取措施调动农户、企业管理者的积极性。作者认为，中、苏经济政策真正的分歧发生在1992年苏联解体以后。中国延续之前循序渐进的方式，逐步建立并完善了（国有、集体所有和私有制混合的存在的）“社会主义市场经济”，而叶利钦的俄罗斯则采纳了美国人的“休克疗法” —— 一夜之间完成了国有企业的私有化。

因此，中、苏改革的不同结果来自于中苏两国社会经济结构上的不同和领导人在改革进程中具体选择的不同。

第一点区别在于戈尔巴乔夫与邓小平在处理经济改革与政治改革上的不同立场。这也是很多历史学家和政治学者的共识。在邓小平的改革中，政治改革远远没有经济改革那么深入。中央保持对政治的垄断。改革进程牢牢掌握在中共手中，必要时，中共甚至不惜动用武力镇压那些要求实现民主化的人。在戈尔巴乔夫的改革中，戈尔巴乔夫则认为政治改革与经济改革必须同时进行。然而事实上，经济改革很快陷入停滞并被政治改革所淹没。而政治改革很快演变成民主化和民族化 —— 苏共的垄断地位被终结，戈尔巴乔夫事实上失去了对改革的控制。产生这一点不同的原因有很多，也产生了诸多分析。例如，作者就认为，首先，中国刚刚经历了动荡的文革十年，从上到下，尤其是刚刚重建的中共中央，对社会稳定有着非常强烈的要求。邓等人认为社会稳定是改革成功的先决条件——“稳定压倒一切”。而苏联在戈尔巴乔夫之前刚刚经历勃列日涅夫稳定且停滞的十年。国家上下对社会动荡缺乏感性认识 —— 这解释了为什么俄联邦经历了叶利钦时代的动荡之后一致支持普京的车臣战争。此外，戈尔巴乔夫是第三代领导人，缺少军事经历，在苏共内缺乏威信和权力，使得他不得不诉诸政治改革以争取大众乃至国外领导人的支持。而邓小平是第一代领导人，他在中共内的权力和威望甚高，使得他能够顶住保守派的压力，不断推进改革。当然还有其他原因。有时候这些原因甚至被联系到中国与苏联社会的特性上，这里不再一一而论。

第二点区别在于，中国和苏联社会经济、政治结构上的区别。








（待续）