电子的大小

电子有多大呢？ —— 或许应该问，电子有多小呢？电子的静止质量为 0.511 MeV/$c^2$, 换算成公制约合 $9\times 10^{-31}$ kg. 那么电子的尺寸有多大呢？这个问题却很难回答。当今最精密的实验确定电子的半径小于$10^{-22} \mathrm{m}$。

在经典物理中，人们曾设想电子的的质量全部来自电磁能，据此电子的半径应为 $$r_c = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 c^2} \simeq 1.4 \times 10^{-15} \mathrm{m}.$$ 这就是所谓的电子的经典半径，这里已经假定电子的全部电荷分布在球面上。但是电子不光有电荷，还有所谓的自旋磁矩，约为$\frac{\hbar e}{2m_e}$. 再次按照经典的观点，它是由电子自旋引起来的。若假定电子电荷分布与质量分布相同 $\vec\mu = -g\frac{e}{2m_e}\vec{L}$, 这里$\vec{L}$是角动量, 其大小应为$\frac{1}{2}\hbar$，$g$为所谓约化旋磁比，大小为2. 根据这个条件，电子的半径$r$与其自旋角动量$\omega$应当满足$\frac{1}{2}\hbar = \frac{2}{3} m\omega r^2$. 若代入所谓的经典半径$r \to r_c$, 可算出电子“表面速度”$\omega r = \frac{3}{4} \frac{\hbar}{m_e r_c} \simeq 200c$, 约为光速200多倍。这显然违悖了相对论的原则。这是电子经典半径的反对论据。

其实以上论据本身就有些问题。比如既然电子有高速的自旋，其自旋能量自然应当对总质量有贡献。我们可以讲电子静止质量$m_e$拆分成三部分，电磁能量E，真正的静止质量m和自旋动能T。这样以来同时满足能量关系和角动量关系，并且电子表面速度小于光速是有可能的。为了方便起见，引入以下参数：$\xi = \frac{m}{m_e}$, $\beta = \frac{\omega r}{c}$, 这两个量都应当在0与1之间。$\lambda_e = \frac{h}{m_e c}$为电子的康普顿波长，$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} = \frac{\lambda_e}{4\pi r_c}$ 为精细结构常数。电子质量和角动量关系分别给出： $$m_e c^2 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} + m c^2 \frac{1}{2\beta}\log\frac{1+\beta}{1-\beta} \\ \frac{1}{2}\hbar = \frac{2}{3} m \omega r^2$$ 由此可以得到：$\xi = \frac{2}{\frac{4}{3}\alpha \beta + \frac{1}{\beta}\log\frac{1+\beta}{1-\beta}}$, $\frac{r}{r_c} = 1 + \frac{3}{4}\frac{1}{\alpha\beta^2}\log\frac{1+\beta}{1-\beta}$. 这两个量都是$\beta = \frac{\omega r}{c}$的函数。根据下图，当$0 < \beta < 1$ 时显然 $0 < \xi < 1$ 是合乎要求的。电子半径 $r$ 在$\beta$取0.796时取到最小值，为$r = 354 r_c \simeq 5\times 10^{-29} \mathrm{m}$。此时电子真正的静止质量与总静止质量之比为$\xi = \frac{m}{m_e} \simeq 0.73$.

 

粒子物理中，电子是所谓的基本粒子，即它是“原料”——标准模型的一部分，标准模型无从得知，其又不具有自我预言性，电子结构便无从而知。并且即使最强大的对撞机也不曾粉碎电子或探知电子的内部结构，粒子物理学家只好将其视为点粒子。

事实上，量子场论作为一个多体理论，已经模糊了单粒子和多粒子的界限。电子周围由于电磁相互作用对真空的影响，不断产生和湮灭着光子和虚正负电子对，广义的讲这些可以被视为电子结构的一部分。据此可以计算电子的均方根电荷半径（rms charge radius）。量子电动力学的结果是： $$r_\mathrm{rms}^2 = \frac{\hbar^2}{m^2_ec^2} \frac{\alpha}{\pi} \left[\log{m^2_e}/{m_\gamma^2} - \frac{23}{20} \right]$$ 其中$\frac{\hbar}{m_e}$等于电子的约化康普顿半径，$m_\gamma$为光子的质量，这实际上是一个红外正规子(Infra-Red Regulator) 。当光子质量取零时（这正是物理世界的情形），电子的均方根半径变得无穷大。这实际上不奇怪。均方根电荷半径与相互作用的半径相关，库仑力作为长程相互作用，其作用半径自然是无穷大的。